Типовой расчет № 2
ТЕМА: Аналитическая геометрия
Примеры решения задач.
Пример 1. В прямоугольной декартовой системе координат заданы вершины треугольника АВС: А (4; 3), В (16; –6); С (20; 16). Найти:
- длину стороны АВ;
- уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
- угол В треугольника (с точностью до одной минуты);
- уравнение высоты CD и ее длину;
- уравнение биссектрисы BN;
- уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD;
- уравнение прямой KL, проходящей через точку K параллельно прямой АВ;
- координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.
Построить треугольник АВС, высоту CD, медиану АЕ, биссектрису BN и точку М.
Решение.
1. Применяя формулу для вычисления расстояния между точками (или формулу для вычисления модуля вектора) находим:
.
2. Подставляя в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек А и В, В и С, получим уравнения:
В результате преобразования этих уравнений получим соответственно:
3. Если прямые не являются взаимно перпендикулярными и ни одна из них не параллельна оси Оу, то острый угол между ними может быть определен по формуле
.
Поскольку угловые коэффициенты сторон угла В нам уже известны и угол В острый угол (см. чертеж), то подставляя в последнюю формулу и , получим
.
Угол между прямыми может быть также найден как угол между их нормальными векторами (или между направляющими векторами).
4. Из условия перпендикулярности прямых АВ и СD находим угловой коэффициент прямой CD: . Если известна точка искомой прямой и ее угловой коэффициент k, то уравнение прямой можно записать в виде . Поскольку координаты точки С нам известны, то уравнение прямой СD имеет вид:
.
Для нахождения длины высоты CD определим вначале координаты точки D – точки пересечения прямых AB и CD. Решая систему уравнений
находим . Поэтому .
Длину высоты CD можно найти по формуле, дающей расстояние от точки до прямой:
5. Вначале определим координаты точки N, принадлежащей стороне треугольника АС, и делящей эту сторону в отношении . По свойству биссектрисы угла треугольника можем записать . Вычисляем длины сторон треугольника: . Условимся проводить вычисления в этом пункте с точностью до 0,1, т.е. . Находим координаты точки N:
Запишем уравнение биссектрисы угла В как уравнение прямой, проходящей через две точки В (16; –6) и N (10,6; 8,4):
–уравнение биссектрисы угла В.
Можно рекомендовать другой путь решения этой задачи: найти орт вектора , т.е. , и орт вектора , т.е. , тогда вектор есть направляющий вектор искомой биссектрисы, проходящей через заданную точку В.
6. Определим координаты точки Е, являющейся серединой стороны ВС, по формулам деления отрезка в данном отношении при :
Согласно уравнению прямой, проходящей через две точки, уравнение медианы АЕ имеет вид:
или – общее уравнение прямой АЕ.
Точка пересечения медианы АЕ и высоты CD определяется в результате решения системы уравнений
7. Ввиду параллельности прямых KL и AB, . Подставляя координаты точки К и в уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с известным угловым коэффициентом, получим
– общее уравнение прямой KL.
8. Прямая АВ перпендикулярна прямой CD; поэтому точка М лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка АМ. Применяя формулы деления отрезка в данном отношении, находим координаты точки М:
Выполним чертеж:
Пример 2. Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду; построить данную линию (на чертеже указать «старую» и «новую» системы координат).
Решение. Перепишем уравнение в виде
.
Проведем в скобках «дополнение до полного квадрата» и выполним очевидные преобразования:
,
,
,
.
Введем «новые» координаты . Последнее уравнение в «новых» координатах примет вид:
.
Это есть каноническое уравнение эллипса с полуосями
Пример 3. В прямоугольной декартовой системе координат заданы четыре точки . Требуется:
- составить общее уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С;
- составить канонические уравнения прямой линии, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q и найти координаты точки N пересечения этой прямой с плоскостью Q;
- найти расстояние от точки М до плоскости Q;
- составить канонические уравнения прямых АВ и АМ и найти угол между этими прямыми;
- найти угол между прямой АМ и плоскостью Q;
- найти площадь треугольника АВС;
- найти объем пирамиды АВСМ.
Решение.
- Подставляя в уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, координаты точек А, В, С получим
.
В результате вычисления определителя имеем
.
Искомое уравнение плоскости Q:
.
Уравнение плоскости Q можно найти используя другие формулы, например: уравнение плоскости, проходящей через точку, ортогонально вектору (здесь в качестве заданной точки взять любую из трех заданных точек, скажем точку А, и нормальный вектор плоскости Q определить как векторное произведение векторов и ).
2. В качестве направляющего вектора искомой прямой возьмем нормальный вектор плоскости Q. Подставив в канонические уравнения прямой координаты точки М и координаты направляющего вектора (2, –1, –2), получим уравнения прямой MN:
.
Найдем точку N. Используем параметрические уравнения прямой MN
Подставляя эти выражения в уравнение плоскости Q, получим значение параметра t:
.
Подставив в параметрические уравнения прямой MN , находим координаты точки N пересечения этой прямой с плоскостью Q: .
3. Используя формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости, находим:
.
Это расстояние можно найти и как расстояние между двумя точками: М и N.
4. Запишем уравнение прямой АВ как уравнение прямой, проходящей через две точки
канонические уравнения прямой АВ: .
Аналогично получаем канонические уравнения прямой АМ: .
Угол между прямыми АВ и АМ найдем как угол между их направляющими векторами:
,
поскольку , то мы находим острый угол между этими прямыми: (с точностью до минуты).
5. В формулу для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью подставляем координаты нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой, получим:
(с точностью до одной минуты).
6. Поскольку площадь параллелограмма, построенного на векторах и , численно равна модулю векторного произведения этих векторов, то площадь треугольника АВС найдем как
.
.
Следовательно, кв.ед.
7.) , здесь смешанное произведение трех векторов.
Следовательно, куб.ед.
Конечно, в данном случае можно найти объем пирамиды и так: , т.е.
Задачи для индивидуальных заданий
В задачах 1-30даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
1) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины В;
2) центр тяжести треугольника (точка пересечения медиан);
3) центр и уравнение описанной окружности;
4) площадь треугольника АВС;
5) записать систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
№ | |||||||||||||||
А | -3,-1 | -4,2 | 1,-1 | -2,-3 | 1,-4 | -4,1 | -1,2 | -3,-2 | 3,2 | -1,-3 | -1,-3 | 2,-1 | -1,-3 | 3,2 | -1,2 |
B | -1,3 | 2,3 | 3,-1 | -1,-3 | -4,2 | -4,-1 | -3,-1 | -4,2 | -1,-1 | -1,-2 | 2,3 | 2,1 | 1,-1 | 2,-4 | -4,2 |
C | -4,3 | -4,-2 | -1,3 | 2,-1 | -4,-3 | 1,-1 | 2,-2 | -1,-1 | -3,-2 | 1,-1 | -4,-1 | -2,3 | -3,-4 | -1,-4 | -1,-3 |
№ | |||||||||||||||
А | -4,-1 | 2,-1 | -1,2 | -4,-1 | -4,-4 | -4,-2 | -4,1 | -2,-4 | -2,1 | -2,-4 | -4,1 | 3,2 | 2,-1 | 1,-1 | -3,-2 |
B | -1,-2 | 3,-2 | -1,-4 | 1,-1 | -1,-3 | -4,1 | 3,-4 | -1,1 | -1,-2 | -1,1 | -4,-1 | 2,-4 | 3,-2 | 3,-1 | -4,2 |
C | -4,-3 | 1,2 | 1,-4 | -4,1 | -4,-1 | -2,-1 | 2,-3 | 2,2 | -1,-4 | 2,2 | 1,-1 | -1,-4 | 1,2 | -1,3 | -1,-1 |
В задачах 31-60 привести уравнения линий 2 – го порядка к каноническому виду; построить данные линии (на чертеже указать «старую» и «новую» системы координат).
В задачах 61-90 даны координаты вершин пирамиды . Найти:
1) канонические уравнения прямой ;
2) косинус угла между ребрами и ;
3) общее уравнение плоскости ;
4) синус угла между ребром и гранью ;
5) площадь грани ;
6) объем пирамиды;
№ | ||||||||||
А | -1,1,1 | -4,-4,1 | -4,3,-1 | 1,-3,-1 | -2,-4,-1 | 3,-4,-4 | -4,-1,-4 | 1,-2,-4 | -1,-4,-4 | -4,-4,-1 |
В | -2,-4,-4 | -1,-3,-1 | -4,-2,-2 | 3,-3,-1 | -1,1,-3 | -1,3,-2 | -4,1,-4 | -1,-3,-4 | -3,-1,1 | 3,-2,-4 |
С | -3,-4,-2 | -3,-4,-4 | -4,1,-4 | 2,-1,-3 | 1,-3,-4 | 1,3,-4 | -3,-4,-1 | -4,1,3 | 2,-3,-4 | -4,-4,1 |
D | 2,-1,1 | -3,-1,-1 | 3,-1,2 | 1,-4,-2 | -2,3,-1 | -4,-4,1 | -4,-3,-3 | 1,-3,-4 | -1,-3,3 | -3,3,-2 |
№ | ||||||||||
А | -1,-1,-4 | 2,-1,3 | 1,-1,-4 | -4,-4,1 | -4,-3,-1 | 3,3,3 | 1,-4,1 | 1,-2,-1 | -4,1,-4 | -2,-4,-1 |
В | -2,3,1 | -2,-1,-4 | 3,-1,-1 | 3,-2,-1 | -3,-1,3 | -3,2,-3 | -1,-1,2 | -4,-4,2 | -4,-1,-4 | 3,2,-1 |
С | 1,-4,3 | -4,3,-1 | -4,-4,-2 | -2,-1,-1 | 2,2,2 | -3,-2,2 | -1,1,-4 | 3,-4,-4 | -2,-4,-3 | -1,-4,-4 |
D | -3,3,-4 | -4,-4,-4 | 1,1,-4 | -4,2,1 | 1,2,-4 | -2,3,-4 | -1,-4,1 | 3,-4,2 | -4,-1,3 | 3,3,-2 |
№ | ||||||||||
А | -2,-4,-4 | -4,-1,-1 | 2,-4,1 | -4,-1,-4 | -4,-1,-4 | -4,1,-4 | -1,-4,-4 | -1,-1,-4 | -4,-1,-1 | -4,-4,1 |
В | -4,-4,-1 | 2,-4,1 | -4,2,-2 | -4,-2,2 | -4,1,-4 | -4,-1,-4 | -3,-1,1 | -2,3,1 | 2,-4,1 | 3,-2,-1 |
С | -4,-1,-1 | -1,-1,-4 | -1,2,-1 | 1,-4,-2 | -3,-4,-1 | -2,-4,-3 | 2,-3,-4 | 1,-4,3 | -1,-1,-4 | -2,-1,-1 |
D | 1,2,1 | -4,2,-4 | -1,-1,2 | -4,-3,-1 | -4,-3,-3 | -4,-1,3 | -1,-3,3 | -3,3,-4 | -4,2,-4 | -4,2,1 |