экстремума дифференцируемой функции
Теорема: Если функция 
, дифференцируемая на интервале ]a, b[, имеет в точке 
экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю:
(необходимое условие)
Теорема: Если производная 
функции 
при некотором значении аргумента 
равна нулю и при переходе аргумента через это значение меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум; если при переходе аргумента через это значение производная меняет знак с минуса на плюс, то при
функция имеет минимум. Если при переходе через точку 
производная функции не меняет знака, то в этой точке функция 
экстремума не имеет (достаточное условие).
Правило исследования дифференцируемой функции на
экстремумы с помощью первой производной
Рассмотрим данное правило на примере: 
1. Находят производную функции: 
.
2.Находят критическое значение аргумента, для чего 
приравнивают к нулю и получают действительные корни уравнения (если корни уравнения мнимые, то экстремума нет).
| |
| |
| - критические точки |
|
3. Критические значения аргумента располагают в возрастающем порядке. Определяют знаки производной для значений аргументов, расположенных правее и левее и близких к критическим точкам. Если знак производной меняется с (-) на (+), то данное значение аргумента является точкой минимума, если знак производной меняется с (+) на (-), то данное значение аргумента является точкой максимума.
|
|
Знак производной изменился при переходе через критическую точку с (-) на (+), значит точка 
=-2 – это точка минимума.
4. Вычисляют значение функции в точках максимума и минимума: Ymax, Ymin.
В нашем случае:
Данное правило исследования функции на экстремумы можно представить в виде следующей таблицы:
| Критическое значение аргумента | Знаки производной  , при переходе через критическую точку х=х0
| Характер критической точки | 
| ||
| х0 | x<х0 | х=х0 | x>х0 | ||
| x1 x2 x3 x4 | - + - + | + - - + | Min Max Нет экстремума Нет экстремума |  min
 max
|
Правило исследования дифференцируемой функции на
экстремум с помощью производной второго порядка
Если при данном критическом значении аргумента вторая производная окажется отрицательной, то при этом значении аргумента функция имеет максимум. Если вторая производная окажется положительной, то при этом значении аргумента функция имеет минимум.
Если при данном критическом значении вторая производная обращается в 0 или в бесконечно большую величину, то исследование функции на экстремум ведется с помощью первой производной.
Например: 
1. Находим первую производную: 
2. Находим критические точки:
| |
| |
| - критические точки |
|
3. Находим вторую производную: 
;
4. Во вторую производную подставляем критические точки:
3. ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Кривая 
выпукла в интервале 
, если при всех значениях аргумента 
этого интервала вторая производная отрицательна.
Кривая вогнута в интервале , если при всех значениях аргумента этого интервала вторая производная положительна.
Точка на непрерывной кривой, отделяющая участок выпуклости от участка вогнутости, называется точкой перегиба.
Например:
Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость: 
.
Находим 
Кривая выпукла,если 
Т. о. кривая выпукла в интервале 
Кривая вогнута, если 
Таким образом, кривая вогнута в интервале 
.
Эталоны решения типовых задач
Задача №1. Построить график функции у=х3-3х.
При построении графиков функций удобно действовать по следующей схеме:
1. найти область определения функции;
2. установить, обладает ли функция симметрий (исследовать функцию на четность);
3. исследовать функцию на непрерывность, периодичность;
4. рассмотреть поведение функции в окрестностях точек разрыва;
5. определить поведение функции в бесконечности;
6. найти точки пересечения графика функции с осями координат, если это возможно (хотя бы приближенно);
7. найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума функции;
8. определить точки перегиба;
9. определить интервалы выпуклости и вогнутности;
10. составить сводную таблицу и построить график.
В ходе построения графика по мере необходимости можно получить допольнительно ряд значений функции при некоторых частных значениях аргумента х, т.е. еще ряд точек графика. Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы, иногда даже удобно изменить порядок действий.
Решение.
1. Функция определена при всех 
2. На концах интервала lim (x3-3x)=-¥; lim (x3-3x)=+¥,
x® -¥ x®+¥
3. Определим интервалы возрастания и убывания функции. Функция возрастает на интервале, если f ¢(x)>0. В данном случае f ¢(x)=3х2-3>0, если х2>1 или |х|> 1. Следовательно, функция у=х2-3х возрастает на интервалах 
и 
Функция убывает на интервале, если f ¢(x)<0: 3х2-3<0, откуда х2<1, или -1<х<1. Следовательно, функция у=х3-3х убывает на интервале ]-1, 1[.
4. Определим критические точки и исследуем их характер. Из условия 
(x)=3x2-3=0 найдем критические точки: х1=-1, х2=1. Определим знак первой призводной в окрестностях точек х1=-1, х2=1. Для точки х1=-1 имеем 
, f ¢(x)=3·02-3<0. Так как знак производной при переходе через критическую точку х=-1 изменился с плюса на минус, то х=-1 это точка максимума. Максимум функции f(-1)=(-1)3-3(-1)=2 (точка А на рис. 4). Для точки х2=1 имеем 
, 
. Так как знак производной при переходе через критическую точку изменился с минуса на плюс, то х=1 это точка минимума. Минимум функции 
(точка В на рис. 4).
5. Определим точку перегиба: 
. Ордината точки перегиба f(0)=03-3·0=0 (точка О на рис. 4).
6. Определим интервалы выпуклости и вогнутности. Кривая выпукла при условии 
, откуда х<0. Следовательно, кривая выпукла на интервале 
. Кривая вогнута при условии 
, откуда х>0. Следовательно, кривая вогнута на интервале 
.
7. Найдем точки пересечения кривой с осью Ох. Из системы уравнений 
находим точки пересечения:
0); О (0; 0), 
0).
8. Сведем результаты исследования в таблицу:
| х | -1 | 
| 
| ||
| f(x) | -2 | ||||
| -3 | ||||
| -6 | ||||
| Характер точки | Максимум | Перегиб | Минимум |
9. Строим график функции у=х3-3х
 |
Рис 4. График функции у=х3-3х.
Задача 2. Установить, при каком процентом содержании у кислорода в газовой смеси скорость окисления азота будет максимальной, если уравнение кинетики имеет вид 
=k(100x2-x3), где k -постоянная, х -концентрация окиси азота и х+у=100.
Решение. Найдем производную функции и приравняем ее нулю: 
= k(200х-3х2)=0, откуда критические точки х1=0, х2=200/3. Исследуем точку х1=0: 
В точке х1=0 функция имеет минимум. Исследуем точку х2=200/3: 
Следовательно, х2=200/3 – точка максимума функции , и поэтому у2=100-200/3=33,3. Скорость окисления будет максимальной в том случае, когда в смеси будет содержаться 33,3% кислорода.
Задача 2. Реакция организма на введенный лекарственный препарат может выражаться в понижении температуры, повышении давления и т.д. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Пусть х обозначает дозу назначенного лекарственного препарата, а степень реакции описывается функцией у=f(x)=x2(a-x), где а -положительная постоянная. При каком значении х реакция максимальна?
Решение. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю: 
откуда критические точки х1=0, х2=2а/3.
Значение х1=0 указывает на то, что в организм лекарство не вводилось. Исследуем точку х2=2а/3: 
Следовательно, в точке х2=2а/3 функция имеет максимум. Таким образом, х=2а/3 – это доза, которая вызывает максимальную реакцию.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задачи для домашнего решения
1. Построить графики функций:
а) 
; г) 
;
б) 
; д) 
;
в) 
; е) 
;
2. Известно, что если полимерные молекулы образуются путем рекомбинации, то мольная доля у молекулы полимера с числом звеньев х имеет вид 
где a-постоянная. Найти максимум распределения по молекулярным массам.
3. При построении математической модели хлорирования органических соединений получают следующую функциональную зависимость между концентрацией у монохлорзамещенных продуктов и концентрацией х нехлорированного сырья: 
где постоянная k¹1, а- начальная концентрация хлорируемого продукта. Найти максимум функциональной зависимости.
Задачи для решения на практических занятиях:
- Построить графики функций.
а) у=х(2-х)2; г) у=х3- 
б) у=4х- 
д) у=3х-х3;
в) у=2х2- 
- Растворение лекарственных веществ из таблеток подчиняется уравнению: с=с0е-kt, где с0 -исходное количество лекарственного вещества в таблетке, с -количество лекарственного вещества в таблетке, оставшегося ко времени растворения t, k- постоянная скорости растворения. Построить график функции с(t) для t³0.
- В питательную среду вносят 1000 бактерий. Численность у бактерий возрастает согласно уравнению у=1000+1000t/(100+t2), где t -время, (в часах). Определить максимальное количество бактерий.
- Реакция организма на два лекарственных препарата выражается соответственно функциями
и 
. Определить максимальные реакции на оба препарата и сравнить их.
ТЕМА №3
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Интегральное исчисление является составной частью математического анализа и применяется при решении многих задач химии, биологии именно в тех случаях, когда по известной производной требуется найти вид самой функции.
Цель занятия:
1. Научиться находить интегралы методом непосредственного интегрирования.
2. Научиться находить интегралы методом подстановки.
3. Научиться находить интегралы методом интегрирования по частям.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Процесс дифференцирования, т.е. нахождение производной или дифференциала функции, с физической точки зрения сводится к следующему: зная закон движения материальной системы, определить мгновенное значение скорости в данной точке траектории её движения. С геометрической точки зрения, этот процесс состоит в нахождении tga угла наклона касательной, проведённой к графику функции в данной точке.
Но часто ставится и обратная задача, т. е. необходимо определить закон движения материальной системы, зная её скорость, или по tga угла наклона касательной найти соответствующую функцию. Для решения этой задачи вводится понятие неопределённого интеграла, а сам процесс решения называется интегрированием.
Другими словами: если процесс дифференцирования состоит в нахождении производной данной функции, то процесс интегрирования - это нахождение функции по её производной или дифференциалу.
Найти интеграл значит найти первообразную функции F(х) и сложить её с произвольной постоянной интегрирования С:
.
Таким образом, каждый неопределенный интеграл имеет бесчисленное множество решений или семейство первообразных.
Функция F(x), имеющая функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции:
;
dF(x) = f(x) dx.
Неопределенный интеграл в общем виде записывается:
,
где ∫-знак неопределённого интеграла,
f(x) - подинтегральная функция,
f(x)dx - подинтегральное выражение,
F(x) – первообразная функция
С – произвольная постоянная интегрирования
F(x) + С –решение неопределенного интеграла или семейство первообразных.
2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Производная от неопределённого интеграла равна подинтегральной функции:
.
2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению:
.
3. Интеграл от дифференциала первообразной функции равен самой первообразной, сложенной с произвольной постоянной:
.
4. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
; где а-const
5. Интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:
.
3. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. 
= х+С; 10. 
2. 
11. 
3. 
12. 
4. 
13. 
5. 
14. 
6. 
15. 
7. 
16. 
8. 
17. 
9. 
4. ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫИНТЕГРИРОВАНИЯ
1. Метод непосредственного интегрирования
Метод непосредственного интегрирования основан на преобразовании подинтегральной функции, применении свойств неопределённого интеграла и приведении подинтегрального выражения к табличной форме.
Например:
1) 
Проверка (на основании свойства №2 неопределённого интеграла):
2) 
Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла): 
2. Метод подстановки (замены переменной)
Этот метод основан на введении новой переменной. В интеграле 
сделаем подстановку:
, тогда
;
;
Следовательно, получим:
Например:
1) 
Проверка: 
2) 
Проверка (на основании свойства №2 неопределённого интеграла):
3. Интегрироване по частям
Пусть u и v - дифференцируемые функции. Раскроем дифференциал произведения этих функций:
,
откуда 
Проинтегрируем полученное выражение:
Тогда
или
Например:
Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла):
2) 
Решаем 
Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла):
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задачи для домашнего решения
Найти интеграл:
I. Метод непосредственного интегрирования
а) 
; е) 
;
б) 
; ж) 
в) 
; з) 
г) 
; и) 
д) 
; к) 
II. Метод подстановки (замены переменной)
а) 
; е) 
;
б) 
; ж) 
;
в) 
; з) 
;
г) 
; и) 
;
д) 
; к) 
.
III. Метод интегрирования по частям
а) 
; в) 
; д) 
б) 
; г) 
; е) 
Задачи для решения на практических занятиях:
I. Метод непосредственного интегрирования
а) 
; ж) 
;
б) 
; з) 
;
в) 
; и) 
г) 
; к) 
д) 
; л) 
е) 
; м) 
II. Метод подстановки (замены переменной)
а) 
; ж) 
;
б) 
; з) 
;
в) 
; и) 
;
г) 
; к) 
;
д) 
; л) 
;
е) 
; м) 
III. Метод интегрирования по частям
а) 
; д) 
;
б) 
; е) 
;
в) 
; ж) 
г) 
;
ТЕМА №4
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
При математических расчётах часто требуется найти приращение первообразной функции при изменении её аргумента в заданных пределах. Такую задачу приходится решать при вычислении площадей и объёмов различных фигур, при определении среднего значения функции, при вычислении работы переменной силы. Эти задачи могут быть решены вычислением соответствующих определённых интегралов.
Цель занятия:
1. Научиться вычислять определённый интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
2. Уметь применять понятие определённого интеграла для решения прикладных задач.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Рассмотрим задачу о нахождении площади криволинейной трапеции.
Пусть дана некоторая функция y=f(x), график которой изображён на рисунке.
Рис 1. Геометрический смысл определенного интеграла.
На оси 0х выберем точки “ a” и “в” и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с кривой. Фигура ограниченная кривой, перпендикулярами и осью 0х называется криволинейной трапецией. Разобьём интервал 
на ряд небольших отрезков. Выберем произвольный отрезок 
. Достроим криволинейную трапецию, соответствующую этому отрезку до прямоугольника. Площадь такого прямоугольника определится как:
.
Тогда площадь всех достроенных прямоугольников в интервале 
будет равна:
;
Если каждый из отрезков достаточно мал и стремится к нулю, то суммарная площадь прямоугольников будет стремиться к площади криволинейной трапеции:
;
Итак, задача о вычислении площади криволинейной трапеции сводится к определению предела суммы.
Интегральная сумма есть сумма произведений приращения аргумента на значение функции f(x), взятой в некоторой точке интервала, в границах которого изменяется аргумент. Математически задача о нахождении предела интегральной суммы, если приращение независимой переменной стремится к нулю, приводит к понятию определённого интеграла.
Функция f(x ) в некотором интервале от х=а до х=в интегрируема, если существует такое число, к которому стремится интегральная сумма при Dх®0. В этом случае число J называют определённым интегралом функции f(x) в интервале :
;
где ] а, в [ – область интегрирования,
а –нижний предел интегрирования,
в –верхний предел интегрирования.
Таким образом, с точки зрения геометрии, определённый интеграл есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции в определённом интервале ] а, в [ и осью абцисс.
2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЁННЫМ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫМ ИНТЕГРАЛАМИ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Неопределённый интеграл - это совокупность первообразных функций. Определённый интеграл - это число. Связь между ними задаётся формулой Ньютона-Лейбница.
Теорема. Значение определённого интеграла равно разности значений любой первообразной от подинтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределами интегрирования:
Например: 
.
3. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
;
2. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций 
, заданных на отрезке равен алгебраической сумме определённых интегралов от слагаемых функций:
;
3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
; 
4. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определённый интеграл изменит свой знак на противоположный:
;
5. Если а=в, то 
;
6. Если отрезок интегрирования разбить на две части 
и 
, то:
;
7. Если подинтегральная функция на отрезке интегрирования сохраняет постоянный знак, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, т.е. если 
, то
;
8. Значение определённого интеграла заключено между произведениями наибольшего и наименьшего значений подинтегральной функции на длину интервала интегрирования:
, где M,m – наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке : m £ £ M.
9. Определённый интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке х=С отрезка интегрирования на длину отрезка (в-а):
,
где f(c) - среднее значение функции в интервале.
4. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫНАХОЖДЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Метод непосредственного интегрирования
2. Метод подстановки
Примечание: При вычислении интеграла методом постановки переходим к новым пределам интегрирования для переменной t.
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, уравнения которых заданы
Например: Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:
и 
.
Решение: Представим искомую площадь графически.
Искомая площадь площадь фигуры ОАСВ – заштрихована.
Находим точки пересечения линий: 
, откуда x4 –x=0или х(х3 – 1)=0. Следовательно, абсциссы точек пересечений линий х1=0, х2=1, а сами точки пересечения имеют координаты (0,0) и (1,1).
В соответствии с геометрической интерпретацией определённого интеграла, определённый интеграл функции 
в пределах от х=х1 до х=х2, т.е. 
, численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линией графика функции y=f(x), осью абсцисс и линиями x=x1 и x=x2. Искомая площадь SOACB равна разности площадей криволинейных трапеций:
.
Искомая площадь: 
(кв. ед).
Ответ: Искомая площадь равна 
(квадратных единиц).
Задачи для домашнего решения
Вычислить интегралы:
I. Метод непосредственного интегрирования
а) 
; д) 
;
б) 
; е) 
в); 
ж) 
г) 
; и) 
II. Метод подстановки (замены переменной)
а) 
е) 
;
б) 
; ж) 
;
в) 
; з) 
;
г) 
; и) 
;
III. Метод интегрирования по частям
а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
Найти площадь фигуры, ограниченную линиями:
а) 
и 
если 
;
б) 
и 
;
в) 
и 
;
г) 
и .
Задач