Вариант 1
1. Найти область определения функции
z = Зху/(2х — 5у).
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой.
f(x, у, z) = , (0,-1,1).
3. Найти полный дифференциал функции.
z = 2x3y — 4xy5
4.Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.
u = ex-2y, x = sin t, у = t3, to = 0.
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
x3 + y3 + z3-3xyz = 4, Mо(2, 1, 1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + y2 + z2 + 6z-4x + 8 = 0, M0 (2, 1, -1)
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u (М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1).
u(M) = x2y + y2z + z2x, М1 (l, -1, 2), М2(3, 4, -1).
10. Найти экстремум функции
Вариант 2
1. Найти область определения функции
z = arcsin (x — у).
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой.
f(x, y, z) = ln(x + ), M0(1, 2, 1)
3. Найти полный дифференциал функции.
z = x2y sin x — 3y
4.Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.
u =ln (еx + е-y), х = t2, у = t3, tо = - 1
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
х2 + у2 + z2 —ху = 2, Мо(- 1, 0, 1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + z2 — 4y2 = —2ху, М0 (- 2, 1, 2).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1).
u(M) = 5xy3z2, М1,(2, 1, -1), М2(4, -3, 0).
Вариант 3
1. Найти область определения функции
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой.
f(x,y,z) = (sinx) , Mo(, 1, 2).
3. Найти полный дифференциал функции
z = arctg x +
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.
u = yx, x=ln(t-1), у = е1/2, t0 = 2
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
3x-2y + z = xz + 5, Mo(2, 1, -1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + y2 + z2 — xy + 3z = 7, M0(l, 2, 1)
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1).
u(М) = ln(x2 + У2 + z2), М1 (-1, 2, 1), М2(3, 1. -1).
Вариант 4
1. Найти область определения функции
z= ln (4- х2 -у2)
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой.
f(x, y, z) = ln(x3 + 2y3-z3), Mo(2, 1, 0).
3. Найти полный дифференциал функции
z = arcsin (xy) — 3xy2
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = еу-2x+ 2, x = sint, у = cost, tо = π/2
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
ez + x + 2y + z =4 Mo(1, 1, 0)
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + y2 + z2 + 6y + 4x = 8, Mo (-1, 1, 2).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(М) = z , М1,(0, 0, 0), М2(3, -4, 2).
Вариант 5
1. Найти область определения функции z = 2/(6 -x2- у2).
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой.
f(x,y,z)= , M0(1, 0, 1).
3. Найти полный дифференциал функции
z = 5xy4 + 2x2y7
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = x2ey, х = cos t, у = sin t, t0 = π.
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
х2 + у2 + z2- z – 4=0, M0(1, 1, -1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: 2x2 - y2 + z2 — 4z + y=13, M0(2, 1, -1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1).
u(M)=ln(xy + yz + xz), М1(-2, 3, -1),.М2(2. 1. -3).
Вариант 6
1. Найти область определения функции
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой.
f(x,y,z)= ln cos(, Mo(0, 0, ).
3. Найти полный дифференциал функции.
z = cos(x2 — y2) + x3
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = ln(ех + еу ), x = t2 ,y = t3, t 0=l
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
z3 + 3xyz + 3y = 7, Mo = (1,1,1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + y2 + z2 - 6y + 4z + 4 = 0, MQ(2, 1, -1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9. Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(М) = , М1 (1, 1, 1), М2(3, 2, 1).
10. Найти экстремум функции
Вариант 7
1. Найти область определения функции
z=arccos(x + у).
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x,y,z)= , M0(3, 4, 2).
3. Найти полный дифференциал функции.
z= In (3x2— 2y2)
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u= xу, х = еt, у = ln t, tо = 1
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
cos2 x +cos2 у + cos2 z=3/2, Mo(π /4, 3π /4, π /4)
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + z2 - 5yz + 3y = 46, Mo (l, 2, -3).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(M) = x2y + xz2 - z, М1(1, 1, -1), M2(2, -1, 3).
10. Найти экстремум функции
Вариант 8
1. Найти область определения функции
.
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x,y,z)=arctg(,M0(2, 1, 0).
3. Найти полный дифференциал функции
z = 5xy2-3x3y4
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = еу−2x, x = sin t, y = t3 t0 = 0
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
еz−1 = cos x cos y +1, Mo(0, π /2, 1)
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + у2 - xz - yz = 0, М0(0, 2, 2).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(М) = хеу + уех - z2, М1 (3, 0, 2), М2(4, 1, 3).
Вариант 9
1. Найти область определения функции
.
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x, y, z) = (x2/y-z), Mo(2, 5, 0).
3. Найти полный дифференциал функции
z = arcsin (x + y).
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = х2 × е−y, х = sin t, у = sin2 t, t0 = π /2
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
х2 + у2 + z2 – 6x = 0 Mo(1, 2, 1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + y2 + 2yz - z2 + y - 2z = 2, Mo(1,1,1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(М) = Зху2 + z2 - xyz, М1 (l, 1, 2). М2(3, -1, 4).
Вариант 10
1. Найти область определения функции
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x, y, z) = sin (y/x), M0(2, 0, 4).
3. Найти полный дифференциал функции
z = arctg (2x — y).
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = ln (e-х+ еу), х = t2, у = t3, t0= -1.
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
xy= z2 – 1 Mo(0, 1, -1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: y2 - z2 + x2 - 2xz + 2x = z, Mo(1, 1, 1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(М) = 5x2yz - xy2z + yz2, М1 (l, 1, 1), М2(9, -3, 9).
10. Найти экстремум функции
Вариант 11
1. Найти область определения функции
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x,y,z)= , M0(-1, 1, 0)
3. Найти полный дифференциал функции
z = 7x3y -
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = еу-2х-1, x = cost, y = sint, tQ = π /2.
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
х2 -2y2 + 3z2-yz + y = 2, Mo(l, 1, 1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: z = x2 + y2 - 2xy + 2x - y, M0(-l, -1, -1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(M) = x/(x2 + y2 + z2), М1 (l, 2, 2), М2(-3, 2, -1).
Вариант 12
1. Найти область определения функции
z = 4xy/(x — 3y+ 1).
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x,y,z)= arctg(xz/y2), M0(2, 1, 1).
3. Найти полный дифференциал функции
z =
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = arcsin (x/y), x = sint, у = cost, tо = π.
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
х2 + y2 + z2+ 2xz=5 M0(0, 2, 1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: z = y2 - x2 + 2xy - 3y, Mo(1, -1, 1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1).
u(М) = y2z – 2xyz + z2, М1 (3. 1, -1). М2(-2, 1, 4).
Вариант 13
1. Найти область определения функции
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x,y,z)= ln sin(x-2y+z/4), M0(1, 1/2, π).
3. Найти полный дифференциал функции
z= ex+y-4
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = arccos (2x/y), x = sin t, y= cost, t о = π.
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
x cos y + y cos z + z cos x = π/2 M0(0, π /2, π).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: z = x2 — y2 — 2xy — x — 2y, Mo(— 1, 1, 1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(М) = х2 + у2 + z2 - 2xyz, М1 (l, -1, 2), М2(5, -1, 4).
10. Найти экстремум функции
Вариант 14
1. Найти область определения функции
z = arcsin(x / y).
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x,y,z)= y/x + z/y – x/z, M0(1, 1, 2).
3. Найти полный дифференциал функции
z = cos (3x + y) — x2
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = х2/(у+1), х=1—2t, у = arctgt, tо = 0.
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
3х2 y2 +2xyz2 - 2 х3z + 4y3 z = 4 M0(2, 1, 2).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 - 2y2 + z2 + xz - 4y= 13, Mo(3, 1, 2).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(M)=ln(1 +x + y2 + z2), М1 (l, 1,1), M2(3, -5, 1).
Вариант 15
1. Найти область определения функции
z = ln(
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x,y,z)= , M0(1, 2, 2).
3. Найти полный дифференциал функции
z=tg ((x+y)/(x-y))
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
и = х/у, х = et, у = 2 — e2t , t 0 = 0
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
х2 - 2y2 + z2 - 4x + 2z + 2 = 0, M0(1, 1, 1)
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: 4y2 - z2 + 4xy - xz + 3z = 9, Mo(1, - 2, 1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(М) = x2 + 2у2 - 4z2-5, М1 (l, 2, 1), M2(-3. -2, 6).
Вариант 16
1. Найти область определения функции
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x,y,z)= M0(5, 2, 3).
3. Найти полный дифференциал функции
z = ctg (y/x).
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = ln (e−x +e−2y), х = t2, у= t3, tо=1
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
х + у + z + 2 = хуz, М0(2, -1, -1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: z = x2 + y2 - 3xy - x + у + 2, Mo(2, 1, 0).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(М)=ln(x3 + у3 + z +1), М1 (l, 3, 0). M2(-4, 1, 3).
Вариант 17
1. Найти область определения функции
z = arccos (x +2y)
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x,y,z)= , M0(1, 2, 4).
3. Найти полный дифференциал функции
z = xy4 — 3x2y+ 1
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u= , x=ln t, у = t2, tо=1
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
х2 + y2 + z2 – 2xz = 2 М0(0, 1, -1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: 2x2 - y2 + 2z2 + xy + xz = 3, Mo(1, 2, 1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(М)=х - 2у + еz, М1 (-4. -5, 0), M2(2, 3, 4).
10. Найти экстремум функции
Вариант 18
1. Найти область определения функции
Z = arcsin(2x - y)
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x,y,z)= , M0(, , ).
3. Найти полный дифференциал функции
z = ln (x + xy — y2).
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = arcsin (х2/у), x = sin t, у = cost, t0 = π
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
ez - xyz - х + 1 = 0, M0 (2,1, 0).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 - y2 + z2 - 4x + 2y= 14, Mo(3, 1, 4).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(M) = xy - Зxyz, М1 (2, 2, -4), М2 (l, 0, -3).
Вариант 19
1. Найти область определения функции
z = ln(9 —x2 —y2).
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x,y,z)= ln(), M0(2, 1, 8).
3. Найти полный дифференциал функции
z = 2x2y2 + x3 — y3
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = y2/x, x = 1 - 2t, у =t + arctg t, t0 = 0
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
x3+ 2у3 + z3 - 3xyz - 2у - 15 = 0, M0 (1, -1, 2).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + y2 - z2 + xz + 4y = 4, Mo(1, 1, 2).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(M) = 3x2yz 3, М1 (—2, —3, 1), M2(5, —2, 0).
Вариант 20
1. Найти область определения функции
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x, у, z) = z/(x4 + y2), Mo(2, 3, 25).
3. Найти полный дифференциал функции
z=
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = y/x —x/y, х = sin t, y = cos t, t0 = π/4
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
x2 - 2ху - Зу2 + 6x - 2у + z2 - 8z + 20 = 0 M0 (0, -2, 2).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 - y2 - z2 + xz + 4x= - 5, Mo(- 2, 1, 0).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(M) = М1 (-5. 0, 2), M2(2. 4, -3).
Вариант 21
1. Найти область определения функции
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x, у, z) = 8∙ , Mo(3, 2, 1).
3. Найти полный дифференциал функции
z = arcsin((x + y)/x)).
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u= , x= lnt, y = t2, t0=1
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
х2 + y2 + z2 = y – z + 3 M0 (1, 2, 0).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + y2 - xz + yz - 3x = 11, M0(l, 4, -1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(M) = , М1 (3, 1, 4), M2(1, —1, —1).
Вариант 22
1. Найти область определения функции
z = 4x+y/(2x-5y).
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x, у, z) = ln(), Mo(1, 1, 1).
3. Найти полный дифференциал функции
z = arcctg (x — y).
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = arcsin (x/2y), х = sin t, у= cost, t0 = π
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
x2 + y2 + z2 + 2xy – yz -4x-3y - z = 0 M0 (1, -1, 1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + 2y2 + z2 - 4xz = 8, M0(0, 2, 0).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(М) = (х2 + у2 + z2)3 М1 (l,2, -l), M2(0, -1, 3).
Вариант 23
1. Найти область определения функции
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x, у, z) = -2x/ , Mo(3, 0, 1).
3. Найти полный дифференциал функции
z=
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = x/y – y/x, x = sin 2t, y=tg2t, t0=π/4
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
x2 – y 2 - z2 + 6z + 2x - 4y+ 12 = 0, M0 (0, 1, -1)
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 - y2 - 2z2 - 2y = 0, Mo(-1, -1, 1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(M) = (x — у)z, М1(1, 5, 0), M2(3, 7, -2).
Вариант 24
1. Найти область определения функции
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x, у, z) = , Mo(3, 0, 1).
3. Найти полный дифференциал функции
z = у2 — Зху — x4
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u= , x= lnt, y = t2, t0=1
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
+ z2 - 3z = 3, M0 (4. 3, 1).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: x2 + y2 - 3z2 + xy = -2z, M0(l, 0, 1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(M) = x2y + y2z — Зz, М1 (0, -2, -1), М2 (12, -5, 0).
10. Найти экстремум функции
Вариант 25
1. Найти область определения функции
Z = ln(2x-y).
2. Вычислить значения частных производных f'x(M0), f'y(Mo), f'z(Mo) для данной функции f(x, у, z) в точке M0(x0, ) с точностью до двух знаков после запятой
f(x, у, z) = , Mo(, , ).
3. Найти полный дифференциал функции
z = arccos (x + y).
4. Вычислить значение производной сложной функции u = u (х, у), где х = х(t), у = у(t), при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой
u = у/х, x = et, y= t - e2t, t0 = 0
5. Вычислить значения частных производных функции z(x, у), заданной неявно, в данной точке Мо(Xо, Yо, Zо) с точностью до двух знаков после запятой
x2 + 2y2 + Зz2 = 59, M0 (З, 1, 4).
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке Мо(Xо, Yо, Zо)
S: 2x2 - y2 + z2 - 6x + 2y + 6 = 0, Mo(1, -1, 1).
7. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u
9.Дана функция u(М) = u(х, у, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора М1М2; 2) grad u(М1)
u(М)= 10/(x2 + у2 + z2+ 1), M1 (-1