Основные теоремы из геометрии, которые обычно изучаются в 7 классе:
Теорема о сумме углов треугольника
Теорема о сумме углов треугольника - это основное утверждение в геометрии, которое гласит, что сумма всех углов внутри любого треугольника равна 180 градусам.
Эта теорема означает, что если взять любой треугольник, измерить внутренние углы и сложить их величины в градусах, то результат всегда будет равен 180°.
Формально теорему о сумме углов треугольника можно записать следующим образом:
В треугольнике ABC с внутренними углами A, B и C справедливо равенство: A + B + C = 180°.
Эта теорема имеет фундаментальное значение в геометрии и широко используется при решении задач, связанных с треугольниками и их углами.
Теорема о величине угла, стоящего на хорде
Теорема о величине угла, стоящего на хорде, также известная как "Теорема о центральном и вписанном угле", гласит следующее:
Величина центрального угла, стоящего на окружности, равна удвоенной величине вписанного угла, стоящего на той же дуге.
Это означает, что если у нас есть окружность, и на ней дан центральный угол (угол, вершина которого совпадает с центром окружности), то величина этого центрального угла будет вдвое больше величины вписанного угла, который опирается на ту же дугу окружности.
Математически теорему можно записать следующим образом:
Пусть α - центральный угол, а β - вписанный угол, стоящий на той же дуге, в окружности. Тогда α=2β.
Эта теорема имеет важное значение при работе с углами, образованными дугами окружности. Она позволяет связать величины центральных и вписанных углов, что может быть использовано при решении задач геометрии.
Теорема о величине центрального угла
Теорема о величине центрального угла утверждает, что величина центрального угла, стоящего на окружности, равна величине дуги, которую он охватывает.
Формально теорему можно записать следующим образом:
Пусть дана окружность с центром O, и на ней стоит центральный угол AOB. Тогда величина угла AOB равна величине дуги AB, которую он охватывает.
Математически это выражается как:
m∠AOB = m(дуги AB).
Здесь m∠AOB обозначает меру центрального угла AOB (его величину в градусах), а m(дуги AB) обозначает меру дуги AB на окружности.
Эта теорема имеет важное значение при изучении геометрии окружности и используется для вычисления углов, связанных с окружностями, а также для решения задач, связанных с арками и секторами окружности.
Теорема о параллельных прямых и углах
Теорема о параллельных прямых и углах устанавливает связь между параллельными прямыми и углами, образованными пересекающейся прямой, которая пересекает эти параллельные прямые.
Теорема гласит следующее:
Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние углы на одной стороне пересекающейся прямой в сумме дают 180 градусов.
Формально теорему можно записать так:
Пусть AB и CD - две параллельные прямые, пересекаемые прямой EF. Тогда углы 1 и 2 (а также углы 3 и 4) в сумме дают 180 градусов.
Математически это выглядит следующим образом:
m∠1 + m∠2 = 180°, m∠3 + m∠4 = 180°.
Здесь m∠1, m∠2, m∠3 и m∠4 обозначают меры соответствующих углов.
Теорема о параллельных прямых и углах имеет практическое применение при решении геометрических задач, связанных с параллельными прямыми и пересекающими их прямыми. Эта теорема позволяет установить важное свойство суммы углов в данной конфигурации и использовать его для нахождения неизвестных угловых величин.
Теорема о соответственных углах (при параллельных прямых)
Теорема о соответственных углах при параллельных прямых - это фундаментальное геометрическое утверждение, которое описывает свойства соответственных углов при пересекающихся параллельных прямых.
Теорема гласит следующее:
Если две прямые пересекаются третьей прямой так, что соответственные углы на одной стороне пересекающейся прямой равны, то эти две прямые параллельны.
Формально теорему можно записать так:
Пусть AB и CD - две пересекающиеся прямые, пересекаемые прямой EF. Если угол 1 равен углу 2, а также угол 3 равен углу 4, то AB || CD (прямые AB и CD параллельны).
Математически это выглядит следующим образом:
Если m∠1 = m∠2 и m∠3 = m∠4, то AB || CD.
Здесь m∠1, m∠2, m∠3 и m∠4 обозначают меры соответственных углов.
Теорема о соответственных углах при параллельных прямых имеет большое практическое значение при решении задач, связанных с параллельными и пересекающимися прямыми. Это утверждение позволяет использовать равенство соответственных углов для выявления параллельности прямых и нахождения угловых величин в геометрических конструкциях.
Теорема о противоположных углах
Теорема о противоположных углах - это принцип, связанный с углами, образованными пересекающимися хордами (или линиями) на окружности.
Теорема гласит следующее:
Углы, образованные пересекающимися хордами на окружности и исходящими из одной точки, равны между собой.
Формально теорему можно записать так:
Пусть на окружности даны хорды AB и CD, пересекающиеся в точке O. Тогда угол AOC равен углу BOD.
Математически это выглядит следующим образом:
∠AOC = ∠BOD.
Здесь ∠AOC обозначает угол, образованный хордами AB и CD, исходящими из общей точки O, а ∠BOD обозначает угол, образованный другими частями этих хорд.
Теорема о противоположных углах важна при работе с геометрией окружности и используется, например, при нахождении углов в радиальных и хордальных конструкциях, а также при доказательствах и решении задач, связанных с окружностями.
Теорема о величине угла между хордой и касательной
Теорема о величине угла между хордой и касательной - это принцип, описывающий свойства угла между хордой окружности и касательной к этой окружности в точке касания.
Теорема гласит следующее:
Угол между хордой и касательной, проведенной к окружности из точки касания, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.
Формально теорему можно записать так:
Пусть на окружности дана хорда AB, и к ней проведена касательная CD в точке E. Тогда угол ACE равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу AB.
Математически это выглядит следующим образом:
∠ACE = 0.5 * ∠AOB.
Здесь ∠ACE обозначает угол между хордой AB и касательной CD, а ∠AOB обозначает центральный угол, опирающийся на дугу AB.
Теорема о величине угла между хордой и касательной имеет важное значение при решении задач, связанных с окружностями и углами. Она позволяет связать угловые величины, образованные хордами и касательными, с угловыми величинами, связанными с дугами окружности, и использовать эту связь для нахождения неизвестных угловых величин в геометрических конструкциях.
Теорема о равных центральных углах
Теорема о равных центральных углах устанавливает связь между равенством центральных углов и равенством дуг на окружности.
Теорема гласит следующее:
Если два центральных угла, стоящих на одной и той же окружности или на равных окружностях, равны между собой, то дуги, которые они охватывают, также равны.
Формально теорему можно записать так:
Пусть в окружности даны два центральных угла AOC и BOD, которые равны между собой, и эти углы охватывают дуги AC и BD соответственно. Тогда дуги AC и BD также равны.
Математически это выглядит следующим образом:
Если m∠AOC = m∠BOD, то m(arc AC) = m(arc BD).
Здесь m∠AOC и m∠BOD обозначают меры центральных углов, а m(arc AC) и m(arc BD) обозначают меры дуг AC и BD.
Теорема о равных центральных углах используется для доказательства равенства дуг на окружности, когда известно равенство соответствующих центральных углов. Это свойство широко используется при решении геометрических задач, связанных с окружностями и углами, а также при доказательствах теорем о дугах и сегментах окружности.
Теорема о треугольнике и полупериметре
Теорема о треугольнике и полупериметре, также известная как "Теорема о радиусе вписанной окружности," устанавливает связь между радиусом вписанной окружности треугольника и его полупериметром, а также его площадью.
Теорема гласит следующее:
Радиус r вписанной окружности треугольника ABC связан с полупериметром p треугольника и его площадью S следующим образом:
r=S/p,
где S - площадь треугольника, а p - полупериметр (полусумма длин сторон) треугольника.
Эта теорема может быть записана более подробно для треугольника ABC с длинами сторон a,b и c:
r=√((p−a)(p−b)(p−c))/p,
где a,b,c - длины сторон треугольника, а p - его полупериметр.
Теорема о треугольнике и полупериметре имеет важное значение при решении задач, связанных с треугольниками и окружностями. Она позволяет выразить радиус вписанной окружности через параметры треугольника и использовать этот результат для вычисления дополнительных характеристик треугольника, таких как площадь, длины сторон и другие.
Теорема о треугольниках с равными углами
Теорема о треугольниках с равными углами, также известная как "Теорема о подобных треугольниках с равными углами," утверждает, что если два треугольника имеют соответственно равные углы, то они подобны.
Теорема гласит следующее:
Если в двух треугольниках углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.
Это означает, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны, и их углы соответственно равны.
Математически, для двух треугольников ABC и DEF с равными углами, теорему можно записать следующим образом:
Если ∠A=∠D, ∠B=∠E и ∠C=∠F, то треугольники ABC и DEF подобны.
Теорема о треугольниках с равными углами используется для определения подобия треугольников и нахождения соответствующих сторон, а также для решения задач, связанных с геометрией и подобными фигурами. Это важное утверждение в геометрии, которое позволяет сделать выводы о соотношениях между сторонами и углами в подобных треугольниках.
Теорема о высотах треугольника и его сторонах
Теорема о высотах треугольника и его сторонах, также известная как "Теорема о высотах и подобии треугольников," устанавливает связь между высотами треугольника и его сторонами при условии, что треугольники подобны.
Теорема гласит следующее:
Если в двух подобных треугольниках одна высота треугольника делит соответствующую сторону подобного треугольника в одной и той же пропорции, что и другая высота, то эти треугольники подобны.
Математически, для двух подобных треугольников ABC и DEF, где высоты AD и DE, соответственно, делят стороны BC и EF в одной и той же пропорции:
Если BD/EC=AD/DE, то треугольники ABC и DEF подобны.
Эта теорема позволяет установить подобие треугольников, когда известны соотношения между высотами и сторонами, и использовать это свойство для нахождения дополнительных характеристик подобных треугольников. Также теорема о высотах и подобии треугольников полезна при решении задач, связанных с геометрией и подобными фигурами.
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора - это одна из самых известных и фундаментальных теорем в математике, которая устанавливает связь между длинами сторон прямоугольного треугольника.
Теорема гласит следующее:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Математически это можно записать для треугольника ABC с прямым углом при точке C следующим образом:
c2=a2+b2,
где:
- c - длина гипотенузы (стороны противоположной прямому углу),
- a и b - длины катетов (сторон, образующих прямой угол).
Теорема Пифагора является основой для вычислений в геометрии и имеет множество практических применений. Она используется для нахождения длин сторон треугольника, проверки, является ли треугольник прямоугольным, и решения разнообразных задач, включая задачи из физики, инженерии и других областей, где треугольники играют важную роль.
Теорема о треугольниках с равными сторонами
Теорема о треугольниках с равными сторонами, также известная как "Теорема о треугольниках равных сторон," утверждает, что если у двух треугольников все три стороны соответственно равны, то эти треугольники равны.
Теорема гласит следующее:
Если в двух треугольниках все три стороны первого треугольника соответственно равны трём сторонам второго треугольника, то эти треугольники равны.
Математически, для двух треугольников ABC и DEF, где стороны AB, BC и CA равны соответственно сторонам DE, EF и FD:
Если AB = DE, BC = EF и CA = FD, то треугольники ABC и DEF равны.
Эта теорема означает, что при равенстве всех трёх сторон у двух треугольников, углы этих треугольников также будут равны друг другу. Такие треугольники называются равными по сторонам или равными треугольниками.
Теорема о треугольниках с равными сторонами используется для доказательства равенства треугольников и при решении задач, связанных с геометрией и подобными фигурами.
Теорема о пропорциональных сторонах в треугольнике
Теорема о пропорциональных сторонах в треугольнике, также известная как "Теорема угловой биссектрисы," устанавливает связь между пропорциональными сторонами треугольника и лучами, исходящими из вершин треугольника в точках пересечения биссектрисы угла.
Теорема гласит следующее:
В треугольнике, если биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении длин двух других сторон, то эти две другие стороны также пропорциональны друг другу.
Математически, для треугольника ABC, где биссектриса AD угла A делит сторону BC в отношении длин AB и AC:
Если BD/CD=AB/AC, то стороны AB и AC пропорциональны.
Эта теорема позволяет установить пропорциональные соотношения между сторонами треугольника на основе свойств биссектрис углов. Она может быть использована, например, для вычисления отношений сторон треугольника, когда известно, что биссектриса делит одну из сторон в заданном отношении. Также теорема угловой биссектрисы может быть полезной при решении задач, связанных с треугольниками и их свойствами.