Восьмой класс включает множество геометрических теорем и понятий. Вот некоторые из них:
Теорема о величине центрального угла
Теорема о величине центрального угла устанавливает связь между мерой центрального угла и длиной дуги, которую этот угол охватывает на окружности.
Теорема гласит следующее:
Величина центрального угла, стоящего на окружности, равна мере дуги, которую он охватывает.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть на окружности дан центральный угол ∠AOC, и эта дуга охватывает угол α. Тогда:
m∠AOC = α,
где m∠AOC обозначает меру центрального угла, а α - мера дуги на окружности, охваченной этим углом.
Другими словами, величина центрального угла пропорциональна длине дуги на окружности, которую этот угол подразумевает. Это свойство является ключевым для понимания связи между углами и дугами на окружности и находит широкое применение при решении геометрических задач, связанных с окружностями и углами.
Теорема о равных центральных углах
Теорема о равных центральных углах устанавливает принцип равенства центральных углов на окружности, когда соответствующие дуги равны.
Теорема гласит следующее:
Если два центральных угла, стоящих на окружности, охватывают равные дуги, то эти центральные углы равны между собой.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть на окружности даны два центральных угла ∠AOC и ∠BOD, и эти углы охватывают равные дуги AC и BD соответственно. Тогда:
∠AOC = ∠BOD.
Здесь ∠AOC и ∠BOD обозначают центральные углы, а AC и BD - равные дуги на окружности.
Суть этой теоремы заключается в том, что равные дуги на окружности соответствуют равным центральным углам, и наоборот. Это свойство помогает анализировать геометрические конструкции, в которых задействованы центральные углы и дуги окружности.
Теорема о вписанном угле и центральном угле
Теорема о вписанном угле и центральном угле устанавливает связь между величинами вписанного угла и центрального угла, стоящего на той же дуге окружности.
Теорема гласит следующее:
Величина вписанного угла, стоящего на окружности, равна половине соответствующего центрального угла.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть на окружности дан вписанный угол ∠ABC, и соответствующий центральный угол охватывает ту же дугу ACB. Тогда:
мера ∠ABC = 0.5 * мера центрального угла, опирающегося на дугу ACB.
Здесь ∠ABC обозначает вписанный угол, а мера центрального угла - угол, стоящий на той же дуге ACB.
Иногда эта теорема записывается более кратко:
∠ABC = 0.5 * мера дуги ACB.
Таким образом, величина вписанного угла, измеренного в радианах или градусах, всегда будет половиной меры соответствующего центрального угла, стоящего на той же дуге. Эта теорема является важным инструментом в геометрии и используется при решении задач, связанных с окружностями и углами.
Теорема о вписанном угле и угле, опирающемся на ту же дугу
Теорема о вписанном угле и угле, опирающемся на ту же дугу, устанавливает связь между величиной вписанного угла и углом, стоящим на той же дуге окружности.
Теорема гласит следующее:
Величина вписанного угла, стоящего на окружности, равна половине величины угла, опирающегося на ту же дугу.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть на окружности дан вписанный угол ∠ABC, и угол AOC, опирающийся на ту же дугу ACB, имеет меру α. Тогда:
мера ∠ABC = 0.5 * α.
Здесь ∠ABC обозначает вписанный угол, а α - мера угла, опирающегося на ту же дугу ACB.
Иногда эта теорема записывается более кратко:
∠ABC = 0.5 * ∠AOC.
Эта теорема является важным свойством в геометрии и часто используется при работе с окружностями и углами. Она помогает установить связь между различными углами, образованными на окружности, и использовать эту связь для доказательства и решения геометрических задач.
Теорема о противоположных углах
Теорема о противоположных углах устанавливает свойство равенства противоположных углов, образованных пересекающимися хордами на окружности.
Теорема гласит следующее:
Противоположные углы, образованные пересекающимися хордами на окружности, равны.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть на окружности даны две пересекающиеся хорды AB и CD, и они образуют два параллельных угла ∠ACB и ∠CDA. Тогда:
∠ACB = ∠CDA.
Здесь ∠ACB и ∠CDA обозначают противоположные углы, образованные хордами AB и CD соответственно.
Эта теорема имеет важное значение при работе с окружностями и углами. Она позволяет установить свойство равенства углов, образованных пересекающимися хордами, и использовать это свойство для доказательства и решения разнообразных задач, связанных с геометрией окружностей.
Теорема о сумме углов в треугольнике
Теорема о сумме углов в треугольнике, также известная как "Теорема углов треугольника", устанавливает связь между величинами углов внутри треугольника.
Теорема гласит следующее:
Сумма углов внутри любого треугольника равна 180 градусам.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть в треугольнике ABC даны углы ∠A, ∠B и ∠C. Тогда:
мера ∠A + мера ∠B + мера ∠C = 180°.
Это означает, что величины трех углов в треугольнике в сумме дают 180 градусов. Независимо от размеров сторон треугольника, его углы всегда удовлетворяют этому соотношению.
Теорема о сумме углов в треугольнике является фундаментальным свойством геометрии и широко применяется при анализе и решении задач, связанных с треугольниками.
Теорема о внешних углах треугольника
Теорема о внешних углах треугольника (также известная как теорема об угле суммы внешних углов) устанавливает связь между внутренними и внешними углами треугольника.
Теорема гласит следующее:
Величина внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних углов, не смежных с данным внешним углом.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть в треугольнике ABC дан внешний угол ∠D, а внутренние углы при вершинах A и B имеют меры ∠A и ∠B. Тогда:
мера ∠D = мера ∠A + мера ∠B.
Эта теорема показывает, что сумма мер двух внутренних углов, не смежных с данным внешним углом, равна мере внешнего угла. Это важное свойство треугольников, которое можно использовать при решении задач, связанных с углами и сторонами треугольников. Теорема о внешних углах также может быть обобщена на полигоны с большим числом углов.
Теорема о подобии треугольников
Теорема о подобии треугольников устанавливает условия и свойства подобных треугольников, то есть таких треугольников, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
Существует несколько формулировок этой теоремы, и вот одна из них:
Теорема о подобии треугольников (по стороне и углу): Если у двух треугольников две их стороны пропорциональны, а включенный угол равен в обоих треугольниках, то эти треугольники подобны.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть у треугольников ABC и DEF стороны AB и BC пропорциональны сторонам DE и EF соответственно (AB/DE = BC/EF), и угол BAC равен углу EDF (∠BAC = ∠EDF). Тогда треугольники ABC и DEF подобны.
Вторая формулировка теоремы о подобии треугольников (по трем сторонам): Если отношения длин соответствующих сторон двух треугольников равны, то эти треугольники подобны.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть у треугольников ABC и DEF отношения длин соответствующих сторон AB/DE, BC/EF и AC/DF равны. Тогда треугольники ABC и DEF подобны.
Теорема о подобии треугольников имеет важное значение при решении задач, связанных с геометрией и подобными фигурами. Она позволяет установить подобие треугольников на основе соотношений между их сторонами и углами, что помогает решить множество геометрических и практических задач.
Теорема Пифагора
Теорема гласит следующее:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Математически это можно записать для треугольника ABC с прямым углом при точке C следующим образом:
c2=a2+b2,
где:
- c - длина гипотенузы (стороны, напротив прямого угла),
- a и b - длины катетов (другие две стороны, образующие прямой угол).
Теорема Пифагора имеет большое значение в математике, физике, инженерии и других областях, где используются треугольники и геометрические конструкции. Она позволяет вычислять длины сторон треугольника, проверять, является ли треугольник прямоугольным, а также решать разнообразные задачи, связанные с расстояниями и отношениями между сторонами треугольника.
Теорема о треугольнике и полупериметре
Теорема о треугольнике и полупериметре устанавливает связь между радиусом вписанной окружности, полупериметром треугольника и его площадью.
Теорема гласит следующее:
Для любого треугольника со сторонами a, b и c, полупериметром s.
s = (a+b+c)/2,
радиусом вписанной окружности r и площадью S, справедливо следующее равенство:
S=rs,
где S - площадь треугольника, r - радиус вписанной окружности, s - полупериметр треугольника.
Эта теорема показывает, что площадь треугольника можно выразить как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр треугольника. Важно отметить, что радиус вписанной окружности - это окружность, которая касается всех сторон треугольника и находится внутри него.
Теорема о треугольнике и полупериметре имеет практическое применение при решении задач, связанных с треугольниками, в том числе при вычислении площадей, нахождении радиусов вписанных окружностей и решении геометрических задач.
Теорема о треугольниках с равными углами
Теорема о треугольниках с равными углами устанавливает важное свойство подобных треугольников, у которых углы соответственно равны.
Теорема гласит следующее:
Если в двух треугольниках соответствующие углы равны между собой, то эти треугольники подобны.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть треугольники ABC и DEF имеют соответствующие углы ∠A = ∠D, ∠B = ∠E и ∠C = ∠F. Тогда треугольники ABC и DEF подобны.
Эта теорема устанавливает связь между равенством углов в двух треугольниках и их подобием. Если углы в двух треугольниках одинаковы, то это говорит о том, что структура углов в этих треугольниках сходна, и следовательно, треугольники подобны.
Теорема о треугольниках с равными углами является важным инструментом в геометрии и широко используется при решении задач, связанных с подобием фигур, вычислением соотношений длин сторон и нахождением неизвестных параметров.
Теорема о треугольниках с равными сторонами
Теорема о треугольниках с равными сторонами, также известная как теорема о равенстве треугольников по сторонам-сторонам-сторонам (SSS), устанавливает условия для равенства двух треугольников, когда все их соответствующие стороны равны.
Теорема гласит следующее:
Если в двух треугольниках все соответствующие стороны равны между собой, то эти треугольники равны.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть треугольники ABC и DEF имеют стороны AB = DE, BC = EF и AC = DF. Тогда треугольники ABC и DEF равны.
Эта теорема подтверждает, что если все три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники совпадают. Они имеют одинаковую структуру и размеры, что делает их равными.
Теорема о треугольниках с равными сторонами является важным элементом в геометрии и используется для доказательства равенства треугольников, а также при решении задач, связанных с подобием и равенством геометрических фигур.
Теорема о пропорциональных сторонах в треугольнике
Теорема о пропорциональных сторонах в треугольнике, также известная как теорема о пропорциональных биссектрисах, устанавливает связь между биссектрисами треугольника и их пропорциональными сторонами.
Теорема гласит следующее:
Если из вершины треугольника проведены биссектрисы к противоположным сторонам, то отношение длин отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, равно отношению длин других двух сторон треугольника.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть треугольник ABC имеет биссектрисы AD, BE и CF, пересекающие противоположные стороны BC, AC и AB соответственно. Тогда:
BD/DC=AB/AC, CE/EA=BC/BA, AF/FB=AC/BC.
Эта теорема связывает биссектрисы треугольника с соотношениями длин его сторон. Если биссектрисы делят противоположные стороны треугольника на отрезки в пропорциональных отношениях, то отношения длин сторон также связаны между собой.
Теорема о пропорциональных сторонах в треугольнике имеет практическое применение при решении задач, связанных с геометрией треугольников и вычислением длин его сторон.
Теорема о сумме длин двух сторон треугольника
Теорема о сумме длин двух сторон треугольника устанавливает неравенство между суммой длин двух сторон треугольника и длиной третьей стороны.
Теорема гласит следующее:
В любом треугольнике сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть треугольник ABC имеет стороны AB, BC и AC. Тогда:
AB + BC > AC, BC + AC > AB, AC + AB > BC.
Это неравенство показывает, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Если бы какое-либо из этих неравенств не выполнялось, то нельзя было бы построить треугольник с данными сторонами.
Теорема о сумме длин двух сторон треугольника является важным свойством треугольников и имеет применение при анализе и решении задач, связанных с геометрией, треугольниками и их сторонами.
Теорема о пропорциональных отрезках в пересекающихся хордах
Теорема о пропорциональных отрезках в пересекающихся хордах устанавливает связь между отрезками, которые образуются при пересечении хорд окружности.
Теорема гласит следующее:
Если две хорды окружности пересекаются внутри окружности, то произведение длин отрезков каждой хорды равно произведению длин другой хорды.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть хорды AB и CD пересекаются внутри окружности так, что точка пересечения лежит внутри обеих хорд. Тогда:
AD * DB = CB * BD.
Здесь AD и DB - отрезки хорды AB, а CB и BD - отрезки хорды CD.
Эта теорема устанавливает важное свойство отношений длин отрезков в пересекающихся хордах окружности. Она часто используется при решении геометрических задач, связанных с окружностями и пересекающимися хордами, например, при нахождении неизвестных длин или координат точек на окружности.
Теорема о сумме внутренних углов многоугольника
Теорема о сумме внутренних углов многоугольника устанавливает связь между количеством углов и их суммой в многоугольнике.
Теорема гласит следующее:
Сумма внутренних углов многоугольника равна произведению (n - 2) на 180 градусов, где n - количество углов (вершин) многоугольника.
Математически это можно записать следующим образом:
Пусть P - многоугольник с n вершинами. Обозначим сумму его внутренних углов через S. Тогда:
S = (n - 2) * 180°.
Эта теорема является одним из ключевых свойств многоугольников и имеет широкое применение в геометрии. Она позволяет вычислить сумму внутренних углов любого многоугольника по числу его вершин. Например, для треугольника (n=3) сумма внутренних углов составит (3 - 2) * 180° = 180°, для четырехугольника (четырехугольника (n=4) - 360° и так далее.
------------------------------------------------------------------------
Это всего лишь небольшой набор теорем, которые могут быть изучены в восьмом классе. Однако геометрия - это обширная область, и в учебнике вы найдете еще множество других интересных теорем и свойств фигур.