Определение: Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестное содержится в показателе степени.
Теорема: Если ах>ав, где, а≠1, то
1) Если а>0, то х > в, то есть знак сохраняется
2) Если а<0, то х < в, то есть знак меняется
2. Примеры и упражнения
Пример 1: Упростить выражение:
1)
2)
Пример 2: Решить показательное уравнение:
4х-8=64
Решение:
4х-8=43
х-8=3
х=3+8
х=11
Ответ:х=11
Пример 3: Решить показательное уравнение:
3х+2+3х=90
Решение:
3х·32+3х=90 t=9
Пусть 3х=t,t>0 3х=9
t·32+t=90 3х=32
9t+t=90 х=2
10t=90 Ответ: х=2
t=
t=9
Пример 4: Решить показательное уравнение:
2х-1+2х=6
Решение:
+2х=6
Пусть 2х=t,t>0 t=
+t=6 t=4
+t=6 2х=4
2х=22
1t+2t=12 х=2
3t=12 Ответ: х=2
Пример 5: Решить показательное уравнение:
3х+1-4·3х-2=69
Решение:
3х·31-4· =69
Пусть 3х=t,t>0 t=
t·31-4· =69 t=27
3t- =69 3х=27
3х=33
27t-4t=621 х=3
23t=621 Ответ: х=3
Пример 6: Решить показательное уравнение:
9х +8·3х –9 = 0
Решение:
(32)х+8·3х –9 = 0
(3х)2+8·3х –9 = 0
Пусть 3х =t, t > 0
t2 +8· t –9 =0
а=1, b=8, с=-9
t1,2= =
t1= t2=
t1= 1 t2= -9, не уд., так как t>0
3х = 1
3х =30
х=0
Ответ: х=0
Пример 7: Решить показательное неравенство:
23х-5>16
Решение:
23х-5>24, т.к. 2>1, то знак сохраняем
3х-5>4
3х>4+5
3х>9
х>
х>3, Ответ: х>3
Пример 8: Решить показательное неравенство:
3х+2+3х-1<28
Решение:
3х·32+ <28
Пусть 3х=t,t>0 t<
t·32+ <28 t<3
9t+ <28 3х<3
3х<31, т.к.3>1, то знак сохраняем
27t+t<84 х<1
28t<84 Ответ: х<1
Варианты контрольной работы
Задание 1: Упростить выражения
Вариант 1:
Вариант 2:
Вариант 3:
Вариант 4:
Вариант 5:
Вариант 6:
Вариант 7:
Вариант 8:
Вариант 9:
Вариант 10:
Вариант 11:
Вариант 12:
Вариант 13:
Вариант14:
Вариант 15:
Вариант 16:
Вариант 17:
Вариант 18:
Вариант1 9:
Вариант 20:
Вариант 21:
Вариант 22:
Вариант 23:
Вариант 24:
Вариант 25:
Вариант 26:
Вариант 27:
Вариант 28:
Вариант 29:
Вариант 30:
Задание 2: Решить показательное уравнение
Вариант 1:
3х+1=1 | 3х-2· 3х-2=7 |
Вариант 2:
4х+516 | 9· 3х-1+ 3х=36 |
Вариант 3:
4х=1 | 3х+2+3х=810 |
Вариант 4:
32х=3 | 4·3х+2+ 5·3х+1 -6·3х=5 |
Вариант 5:
3х=27 | 4х-3· 4х-2=13 |
Вариант 6:
3х·32=9 | 4· 3х-1+ 3х+1=117 |
Вариант 7:
17х=1 | 2х+1+2х-1=5 |
Вариант 8:
13х+1=13 | 2х+1+5·2х-2=104 |
Вариант 9:
4х=256 | 7х-7х-1=6 |
Вариант 10: 28х=16 | 5х+1-3·5х-2=122 |
Вариант 11:
3х+4=81 | 10·5х-1+ 5х+1=7 |
Вариант 12:
173х-5=17 | 8·2х-1- 2х=48 |
Вариант 13:
32+х=37 | 3х+1-4·3х-2=69 |
Вариант14:
164х=16 | 5х+1+5х+5х-1=31 |
Вариант 15:
4х-1=16 | 3х-3х-2=24 |
Вариант 16:
32х-1=1 | 4х+1+4х-2=260 |
Вариант 17:
53х=125 | 3х+2-5· 3х=36 |
Вариант 18:
17х-1=17 | 7х+2-14· 7х=5 |
Вариант1 9:
43х-4=16 | 5х+1+5х-2=630 |
Вариант 20:
(5х)2=25 | 2х+4-2х=120 |
Вариант 21:
9х+1=81 | 9Х-4·3х-45=0 |
Вариант 22:
43х+1=64 | 25Х-6·5х+5=0 |
Вариант 23:
52х+7=5 | 4х+2х+3-20=0 |
Вариант 24:
14х+5=1 | 4Х-14·2х-32=0 |
Вариант 25:
(3х)3=27 | 2х-23-х=7 |
Вариант 26:
15х+2=225 | 2·5х+2-10·5х=8 |
Вариант 27:
2х+4=8 | 3х-3+5х-1=10 |
Вариант 28:
52х=25 | 2х-2+2х-1+2х=14 |
Вариант 29:
4х=1 | 2·4х-5·2х+2=0 |
Вариант 30:
53х=125 | 3х+2-5· 3х=36 |
Задание 3: Решить показательное неравенство
Вариант 1: 8-2х< 64
Вариант 2: 31-х<
Вариант 3: 22х+1>8
Вариант 4: ()х+1<
Вариант 5: 42х+1>4
Вариант 6: 2х+4-2х>120
Вариант 7: ()4+6х< 3х-3
Вариант 8: 8·2х-1- 2х>48
Вариант 9: 102+х< 100000
Вариант 10: 2х+1+2х-1<5
Вариант 11: 4· 3х-1+ 3х+1>117
Вариант 12: 5х+4< 625
Вариант 13: 3х+2+3х810
Вариант14: 9· 3х-1+ 3х<36
Вариант 15: 10х+1< 1000000
Вариант 16: ()6-3х> 2х-1
Вариант 17: (6)х-1>36х-1
Вариант 18: 7х-3< 49х
Вариант1 9: 103х-1>1000
Вариант 20: 2х-1< 16х+2
Вариант 21: 2·5х+2-10·5х< 8
Вариант 22: 52-х< 25
Вариант 23: 51-3х<
Вариант 24: 21-х>32х
Вариант 25: ()4-2х< х+1
Вариант 26: 7х+1>49х
Вариант 27: 3х-2· 3х-2>7
Вариант 28: 4х-3· 4х-2<13
Вариант 29: 32-х< 27
Вариант 30: 102х+1<
Учебно – методическое обеспечение дисциплины
Печатные издания
1. Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.— М., 2014.
2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования.— М., 2014.
3. Дадаян А.А. Математика: учебник. / А.А. Дадаян.-3-е изд. – М.: ФОРУМ, 2013.- 544с.- (Профессиональное образование).
3.2.1 Электронные издания (электронные ресурсы):
1. Дадаян, А.А. Математика: учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд. — Москва: ФОРУМ, 2013. — 544 с. — (Профессиональное образование)
https://znanium.com/catalog/product/397662
.