Производная функции в точке
Рассмотрим функцию (синий график), которая определена и непрерывна на некотором интервале, произвольную точку , принадлежащую данному интервалу, и соответствующее значение :
Зададим аргументу функции приращение (красный отрезок) в точке .
Приращение аргумента повлекло за собой приращение функции:
(малиновый отрезок)
В данном случае , поскольку в качестве примера выбран промежуток, на котором функция возрастает.
Угол наклона секущей к оси я обозначил через и отметил его коричневой дугой в двух местах. Такое внимание к данному углу не случайно – он однозначно определяется приращениями . Рассмотрим прямоугольный треугольник и угол . Согласно школьному определению, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента в этой точке при . Или коротко:
Если данный предел конечен, то функция является дифференцируемой в точке . А то, что в львиной доле случаев предел существует и конечен, скептики убедятся в самом ближайшем будущем.
И, конечно же, не забываем о важнейшей особенности предела, как такового: ПРИНЦИПИАЛЬНЫЙ МОМЕНТ состоит в том, что приращение аргумента стремится к нулю, но нуля не достигает, иными словами, величина бесконечно малА, но не равна нулю!
Геометрический смысл производной
Пожалуйста, возьмите в руки обычную линейку и совместите её ребро с прямой .
Теперь, согласно определению производной , медленно двигаем линейку влево к точке , уменьшая тем самым приращение . При этом приращение функции тоже уменьшается.
В результате секущая стремится занять положение касательной к графику функции в точке . Искомая касательная изображена зелёным цветом.
Таким образом, мы получили строгое определение касательной к графику функции:
Касательная к графику функции в точке – это предельное положение секущей в данной точке.
Вспомним полученную ранее формулу тангенса угла наклона секущей и осуществим в обеих её частях так называемый предельный переход.
В свете рассматриваемых событий (бесконечного уменьшения и нахождения предела ) угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной (последний дважды отмечен зелёными дугами). Аналогичное утверждение справедливо и для тангенсов данных углов: . В итоге:
Вывод: производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке: .
А тангенс угла наклона касательной – это в точности её угловой коэффициент:
В курсе аналитической геометрии выведена формула, по которой можно составить уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Учитывая полученное равенство , перепишем уравнение в виде .
Данной формулой мы уже активно пользовались, когда находили уравнение касательной, и сейчас стало ясно, откуда она взялась.
Существование производной в точке и непрерывность функции
По определению: , следовательно, существование производной в точке тесно связано с существованием предела в данной точке.
В определении производной ВАЖНЕЙШИМ является тот факт, что приращение аргумента задаётся и в другую сторону.
Отложите на чертеже небольшой отрезок слева от точки . При этом точка расположится левее точки , а точка – ниже точки . Теперь проведите секущую графика функции и начните мысленно уменьшать приращение вправо к точке . В результате данная секущая будет стремиться занять положение той же самой «зелёной» касательной!
Примечание: приращение с левой стороны осуществляется «против оси абсцисс» и поэтому отрицательно: . Заметьте, что всё остаётся корректным, так, в нашем случае соответвующее приращение тоже меньше нуля, и по этой причине левосторонний предел таки будет положительным , корректно показывая (как и его правосторонний коллега) рост функции в точке . Односторонние пределы конечны и совпадают, что говорит о существовании общего предела, производной и единой касательной.
Таким образом, существование производной в точке геометрически очень удобно ассоциировать с существованием ОБЩЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ в данной точке.
Очевидно, что функция не дифференцируема в точках разрыва. Во-первых, она может быть не определена в такой точке, следовательно, приращение задать невозможно (на нет и суда нет). А во-вторых, практически всегда попросту не существует общего предела
Вывод: из дифференцируемости функции в точке необходимо (обязательно) следует её непрерывность в данной точке.
Однако обратное утверждение в общем случае неверно, то есть из непрерывности функции дифференцируемость следует далеко не всегда! Классический пример, функция в точке
Если рассмотреть приращение справа, то правосторонний предел будет равен , и, соответственно, получаем касательную , совпадающую с правой частью графика . Если же придать приращение аргументу влево, получается совсем другой результат: и другая касательная , которая совпадает с левой частью графика . Ни общего предела, ни общей касательной. Таким образом, функция хоть и непрерывна в точке , но не дифференцируема в ней!
Особый случай.
Когда предел равен «плюс» или «минус бесконечности», то производная тоже может существовать и касательная к графику функции будет параллельная оси . Например, касательной к графику функции в точке является сама ось ординат.