До сих пор речь шла о производной и дифференциале в единственной «подопытной» точке . Но ведь в качестве можно взять ЛЮБУЮ ТОЧКУ рассматриваемого интервала!
Из этих соображений в равенстве проведём замену и получим . А это не что иное, как обозначение производной , Символ используется двояко – и как цельный символ производной, и как частное дифференциалов. Вторая интерпретация активно эксплуатируется в ходе решения дифференциальных уравнений.
Естественно, и в самом определении производной в точке заменим на :
К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной).
Производная характеризует скорость изменения функции . Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:
1) Если , то функция возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция растёт, и её график идёт «снизу вверх».
2) Если , то функция убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция убывает (график идёт «сверху вниз»).
3) Если , то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции, в частности в точках минимума и максимума.
Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция произошла от функции .
Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной:
Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».
Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».
Откуда взялись правила дифференцирования и таблица производных? Невероятно, но все они появились благодаря единственной формуле: .
Пример 1
Используя определение производной, доказать, что производная константы равна нулю.
Функция-константа имеет вид , и графически – это семейство прямых, параллельных оси абсцисс. Наверное, многие уже догадались, почему .
Изобразим, например, график функции :
Это «ровная дорога», то есть функция и не возрастает и не убывает в каждой точке. Ни вверх и не вниз.
Покажем аналитически, что производная функции-константы равна нулю. Рассмотрим произвольное значение , в котором, понятно, . Придадим аргументу приращение: . Функция всё время постоянна, поэтому и приращение функции: . По определению производной в точке:
Заметьте, тут нет неопределённости: ноль, делённый на бесконечно малое число , равен нулю.
Поскольку в качестве точки можно взять любое «икс», то проведём замену и получим: .
Пример 2
Найти производную функции по определению.
Рассмотрим произвольное значение , в котором .
Зададим аргументу приращение и вычислим соответствующее значение функции: (обычная алгебра – в функцию вместо «икса» подставили и раскрыли скобки).
Вычислим приращение функции:
По определению производной в точке:
Поскольку в качестве можно взять любое значение , то .
О чём нам говорит найденная производная? Во-первых, для любого «икс» она отрицательна, а значит, функция убывает на всей области определения. И, во-вторых, это убывание постоянно, то есть «наклон горки везде одинаков» – в какой бы точке мы ни находились, предельное отношение будет неизменным:
Здесь и далее я предполагаю, что читатель умеет находить, как минимум, простые производные, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей. Давайте найдём производную «быстрым» способом:
Используя этот же алгоритм, можно решить задачу в общем виде и доказать, что производная линейной функции равна её угловому коэффициенту:
.
Касательная к графику линейной функции в каждой точке совпадает с самим графиком данной линейной функции.
Пример 3
Найти производную функции по определению.
Рассмотрим произвольную точку и соответствующее значение . Зададим приращение и вычислим значение функции в точке :
Найдём приращение функции:
По определению производной в точке:
Поскольку в качестве можно рассмотреть любую точку области определения функции , то проведём замену и получим .
Проверим результат, используя таблицу производных:
Исходная функция и её производная – это две совершенно разные функции, однако между ними существует чёткая и прозрачная связь:
На интервале производная отрицательна: (красная линия), что говорит об убывании функции на данном интервале. Грубо говоря, ветвь параболы идёт сверху вниз. А на интервале производная положительна: (зелёная линия), значит, функция растёт на этом интервале, и её график идёт снизу вверх.
При производная равна нулю: . Найденное значение показывает, что скорость изменения функции в точке равна нулю (функция не растёт в ней и не убывает). В данном случае здесь минимум функции.
Всё это можно утверждать даже не зная, что такое парабола и как выглядит график функции !
И ещё раз заостряю внимание, что значение производной в точке выражает собой некоторую меру скорости изменения функции в данной точке. Найдём несколько значений производной:
Таким образом, в точке функция убывает, в точке сохраняет скорость постоянной, а в точках – растёт. Причём , поэтому можно сказать (опять даже не зная чертежа!), что в окрестности точки график функции идёт вверх круче, чем вблизи точки .
Закрепим геометрический смысл: производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Применим формулу четыре раза:
Вот так изящно производная характеризует свою функцию.