ТЕМА 1. СКАЛЯРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задание 1
Исследовать скорость сходимости (требуемое количество итераций ) метода а) дихотомии и хорд; б) Ньютона; в) секущих и г) простых итераций для численного решения уравнения Кеплера с точностью до в зависимости от параметров уравнения и на сетке и . Представить результаты графически как поверхность (или карту линий уровней) зависимости .
Рекомендации: ; (начальное приближение); для метода секущих .
Задание 2
С точностью до методом I) дихотомии; II) секущих найти все корни многочлена а) Лежандра; б) Чебышева степени на отрезке . Многочлены задаются рекуррентно: для варианта а)
для варианта б)
Рассмотреть случаи . Сравнить (для варианта б) вычисленные корни полинома Чебышева с их точными значениями
Рекомендации: I) для метода дихотомии выполнять поиск корней на начальных отрезках c граничными значениями и ; II) для метода секущих принимать начальные приближения и ; для каждой пары приближений найти соответствующий корень многочлена. Из всех найденных корней выбрать различных.
Задание 3
Определить область сходимости метода Ньютона с точностью до к нулевому корню функции а) ; б) (константы произвольные).
Рекомендации: рассмотреть начальные приближения на сетке ; для каждого найти решение соответствующего уравнения; первое наименьшее из начальных приближений, для которого численное решение ненулевое, будет задавать правую границу искомой области сходимости метода к нулевому решению. Для определения левой границы выполнить то же самое на сетке .
Задание 4
Исследовать зависимость получаемого методом Ньютона численного решения уравнения а) ; б) , а также скорости сходимости (количество итераций ) с точностью до от начального приближения Представить зависимости и графически.
ТЕМА 2. СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Задание 1
Программно реализовать метод Гаусса для численного решения систем линейных уравнений произвольного порядка. Опробовать метод на примере системы уравнений четвертого порядка , где
Сравнить численное решение с точным. Оценить вычислительные ошибки численного решения.
Задание 2
Программно реализовать метод Гаусса для вычисления определителя матрицы произвольного порядка. Опробовать метод на примере матрицы четвертого порядка
Сравнить численное решение с точным значением определителя. Оценить ошибку численного решения.
Задание 3
Программно реализовать метод Гаусса для вычисления обратной матрицы произвольного порядка. Опробовать метод на примере матрицы четвертого порядка
Сравнить численно полученную обратную матрицу с точной
Оценить вычислительные ошибки численного обращения матрицы.
Задание 4
Программно реализовать метод простых итераций и метод Зейделя для численного решения систем линейных уравнений произвольного порядка. Опробовать методы на примере системы уравнений четвертого порядка, где
Сравнить скорость сходимости методов при достижении точности решения . В качестве начального приближения выбирать нулевое .
Задание 5
Программно реализовать метод Зейделя для численного решения систем линейных уравнений произвольного порядка, где предполагается симметризация Гаусса: . Опробовать метод на примере нормальной системы уравнений четвертого порядка, где
Сравнить скорость сходимости метода при достижении точности решения с симметризацией и без. В качестве начального приближения выбирать нулевое .
Задание 6
Степенным методом определить максимальное собственное число и соответствующий собственный вектор для нормальных матриц
Решение находить с точностью до . По количеству выполненных итераций оценить скорость сходимости метода. Вычислить число обусловленности матрицы как
Задание 7
Программно реализовать метод вращений Якоби для вычисления собственных чисел . Решение находить с точностью до . Опробовать метод на примере матрицы четвертого порядка
По количеству выполненных итераций оценить скорость сходимости метода. Вычислить число обусловленности матрицы.
Задание 8
Программно реализовать степенной метод для вычисления максимального собственного числа (нормальной) матрицы произвольного порядка с точностью до . Найти норму матрицы четвертого порядка
как , где ― максимальное собственное число нормальной матрицы . Вычислить норму иным способом, как
на множестве случайных векторов , равномерно распределенных внутри гиперкуба . Выполнить испытаний. Сравнить численные значения норм.
Задание 9
Программно реализовать метод вращений Якоби для вычисления обратной нормальной матрицы произвольного порядка. Решение находить с точностью вычисления собственных чисел до . Опробовать метод на примере матрицы четвертого порядка
Сравнить численно полученную обратную матрицу с точной
Оценить вычислительные ошибки численного обращения матрицы.
Задание 10
Исследовать скорость сходимости (количество итераций ) метода Зейделя при решении системы линейных уравнений второго порядка
с точностью до . В качестве начального приближения выбирать нулевое . Рассмотреть варианты . Графически представить зависимость скорости сходимости от числа .
ТЕМА 3. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Задание 1
Составить программу для полиномиальной интерполяции функции по ее узловым значениям на отрезке . Исследовать поведение ошибки на отрезке интерполяции при для равномерной сетки: и неравномерной сетки Чебышева:
Варианты полинома : а) канонический; б) Лагранжа; в) Ньютона; г) Эйткена–Невилла.
Задание 2
Составить программу для вычисления первой производной от функции I) и II) , используя формулу дифференцирования интерполяционных многочленов: а) Лагранжа и б) канонического на равномерной сетке узлов: I) и II) , где ― количество узлов. Представить графически зависимость ошибки вычисления производной от числа .
Задание 3
Построить кубический сплайн для функции Рунге на равномерной сетке с узловыми значениями: . Оценить поведение ошибки внутри отрезка интерполяции . Представить результаты графически.
Задание 4
Используя узловые значения функции на равномерной сетке методом наименьших квадратов построить аппроксимирующий канонический полином пятой степени. Вычислить среднеквадратическую ошибку полинома при . Сравнить коэффициенты полинома с коэффициентами ряда Тейлора для .
Задание 5
Методом наименьших квадратов представить приближенно функцию квадратичной функцией , используя значения на сетке узлов при . Представить аппроксимирующую функцию для случаев и вычислить соответствующие среднеквадратические ошибки.
Задание 6
Методом наименьших квадратов представить приближенно функцию квадратичной функцией , используя значения на сетке узлов . Здесь — случайная величина, распределенная равномерно на отрезке . Показать, как зависит точность вычисления коэффициентов аппроксимации от количества измерений .