Задание 1
Представить графически область начальных приближений в квадрате , обеспечивающих сходимость к нулевому решению, для метода а) градиентного спуска с длиной шага ; б) Ньютона применительно к функционалу:
I)
II)
Задание 2
Найти минимум функции
методом градиентного спуска с начальными приближениями и . Экспериментально определить постоянный шаг градиентного спуска , при котором достигается наивысшая скорость сходимости метода. Представить графически зависимость скорости сходимости (число итераций) с точностью до от шага .
Задание 3
Методом наискорейшего градиентного спуска найти минимум целевой функции
с точностью до при начальном приближении , и оценить скорость сходимости (число итераций) метода в зависимости от параметра .
Задание 4
Методом наискорейшего градиентного спуска найти минимум функции
с точностью до при начальных приближениях и . Оценить скорость сходимости (число итераций). Графически представить траекторию приближений на плоскости и величину выбираемого переменного шага метода в зависимости от номера итерации.
Задание 5
Численно найти минимум функции
I)
II) (функция Розенброка)
методами а) наискорейшего градиентного спуска; б) Ньютона; в) покоординатного спуска с точностью до при начальных приближениях I) и ; II) и . Оценить скорость сходимости (число итераций), а также графически представить траекторию приближений на плоскости . Для I) минимум: ; для II) минимум: .
Задание 6
В квадрате методами а) наискорейшего градиентного спуска; б) Ньютона; в) покоординатного спуска с точностью до численно найти все минимумы функции Химмельблау
Графически представить траекторию приближений от начального к минимуму .
Рекомендации: шаг метода наискорейшего градиентного спуска выбирать по формуле
Задание 7
Оценить скорость сходимости (число итераций) метода а) наискорейшего градиентного и б) покоординатного спуска при минимизации функции Бута
с точностью до в зависимости от начальных приближений (пунктирная окружность), равноудаленных от минимума :
Представить зависимость графически на отрезке .
Задание 8
Оценить скорость сходимости в зависимости от начальных приближений в квадрате для метода наискорейшего градиентного спуска применительно к функционалу
Зависимость представить графически.
Рекомендации: шаг метода выбирать по формуле
ТЕМА 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Задание 1
Вычислить определенный интеграл
используя квадратурные формулы а) Ньютона–Котеса с количеством узлов ; б) Гаусса с количеством узлов ; в) составные Симпсона с разбиениями . Оценить ошибку численного решения, сравнивая его с точным значением интеграла.
Задание 2
Используя формулу Симпсона, вычислить интеграл
где . Оценить ошибку численного решения, сравнивая его с точным значением интеграла.
Задание 3
Вычислить определенный интеграл
используя составные квадратурные формулы трапеции. Исследовать зависимость ошибки численного решения от числа разбиений составной формулы. Рассмотреть , где .
Задание 4
Стохастическим методом (Монте-Карло) вычислить определенный интеграл
и оценить методическую ошибку в зависимости от количества испытаний . Рассмотреть , где .
Задание 5
Статистическим методом (Монте-Карло) вычислить определенные интегралы
и оценить методическую ошибку в зависимости от количества испытаний . Рассмотреть , где .
Задание 6
Используя составную квадратурную формулу Гаусса, точную для полиномов третьей степени, вычислить определенный интеграл
и оценить точность численного решения в зависимости от числа разбиений N. Рассмотреть , где .
Задание 7
Вычислить определенный интеграл
используя составную квадратурную формулу Симпсона. Исследовать зависимость ошибки численного решения от длины подотрезка интегрирования . Рассмотреть , где .