ВАЖНЕЙШИЕ ПРОЦЕССЫ, МОДЕЛИРУЮЩИЕ ПОТОКИ СОБЫТИЙ

 

Марковские процессы являются удобным аппаратом для описания так называемых потоков событий, когда с течением времени происходят некоторые случайные события, продолжительность наступления которых можно считать нулевой. Например, последовательность вызовов, поступающих на телефонную станцию, последовательность прихода студентов в столовую и т.п.

Обозначим через х(t,s) число наступлений события в интервале (t, s). Поток называется стационарным, если вероятность при всех k= 0,1,2,..., зависит только от разности s-t. Для стационарных потоков обозначим через хt число наступлений события х, за время t, а через вероятность того, что хt =k. Если

(11.1)

то поток называется простейшим, или пуассоновским, с параметром l; l также называют интенсивностью потока.

Для этого потока математическое ожидание и дисперсия для числа наступлений хt даются равенствами

(11.2)

Рассмотрим теперь время между наступлением соседних событий в
простейшем потоке с параметром l. Это время является случайной
величиной, которую обозначим через у. Для функции распределения
этой величины и плотности справедливы равенства

(11.3)

(другими словами, она подчиняется экспоненциальному, или показательному распределению с параметром l). Заметим, что для математического ожидания и дисперсии справедливы формулы

(11.4)

Поток, образованный объединением двух простейших независимых потоков с параметрами l1 и l2 также является простейшим с параметром l1 + l2 .

Важную роль при моделировании систем массового обслуживания играет поток Эрланга. Поток Эрланга k-ro порядка получается из простейшего операцией «просеивания», когда выбрасывают (k-1) подряд идущих событий, а оставляют только k-oe. На рисунке приведен пример при k=3. (Кружками обведены точки, которые оставляют).

Рисунок 10

 

Если через z обозначить случайную величину, равную времени между наступлением двух соседних событий в потоке Эрланга, то плотность и функция распределения для нее дается равенствами (11.5):

(11.5)

Математическое ожидание и дисперсия находится по формулам (11.6):

(11.6)

ЗАДАЧИ

1. Поток вызовов, поступающих на АТС, можно считать простейшим. Известно, что время между двумя вызовами в среднем равно 10 сек. Какова вероятность того, что на АТС не поступит ни одного вызова в течение 5 сек ?

2. Известно, что приход покупателей в некоторый магазин хорошо описывается простейшим потоком. Установлено, что с вероятностью 1/2 в течение 1 минуты в магазин не заходит ни одного покупателя. Какова вероятность того, что в течение двух минут зайдет один покупатель ?

3. Поток кораблей, прибывающих в порт, можно приближенно считать простейшим. Известно, что вероятности прихода одного корабля в сутки и двух кораблей в сутки, равны. Чему равно среднее время между приходами двух кораблей?

4. Поток вызовов на станцию скорой помощи в ночное время можно считать простейшим, причем в среднем за час поступает два вызова. Какова вероятность того, что с 23.00 до 23.30 не поступит ни одного вызова?

5. Докажите формулы (11.6), используя определение процесса Эрланга k-ого порядка и (11.4).

6. В микрорайоне два таксофона. Поток жителей, идущих к ним можно считать простейшим с показателями l=0,2 и l=0,3 (час). Первый таксофон сломался, и все жители стали ходить ко второму. Найти среднее время между двумя приходами к этому таксофону.

7. Поток заявок на ремонт, поступающих в телемастерскую, можно считать пуассоновским с параметром l =2 (заявки в час). В мастерской работают два мастера, которые договорились принимать заявки по очереди (если одну принял первой мастер, то следующую - второй, затем - первый и т.д.). Известно, что первый мастер принял заявку в 11.00. Какова вероятность того, что до 12.00 ему не придется принимать заявку?

8. Поток машин, следующих по шоссе в одном направлении, можно считать пуассоновским с параметром l =10 (машин в час). Некто выходит на дорогу, для того, чтобы остановить первую попавшуюся машину, идущую в данном направлении. Какова вероятность того, что ему придется ждать больше 12 минут? Чему равно среднее время ожидания?

Указание. Плотность распределения времени ожидания такая же, как плотность распределения промежутка между проходом двух машин, т.к. «будущее» в простейшем потоке не зависит от прошлого, в частности от того, сколько времени тому назад прошла последняя машина.

9. По шоссе движутся легковые машины, грузовые и автобусы. Потоки этих машин можно считать простейшими, причем легковых машин в среднем проходит 10 в час, грузовых -6, автобусов -1. Какое среднее время между проходом двух машин на этом шоссе? Какова вероятность того, что в течение 6 минут по шоссе не пройдет ни одной машины?

10. На диспетчерский пункт энергосистемы поступают сигналы с участков в среднем 4 в час. В 75% случаев после поступления сигнала требуется вмешательство диспетчера в производственный процесс. Какова вероятность того, что в течение часа диспетчеру не придется вмешиваться в производственный процесс?





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.


ТОП 5 активных страниц!