Изучение зонной структуры кристаллов
Цель работы: Сформировать представления энергетических зон в кристаллах. Овладеть навыками работы на колориметре-спектрофотометре. «Color-Eye»
ОБРАЗОВАНИЕ ЗОН В КРИСТАЛЛЕ.
В кристалле ионы расположены периодически на расстоянии ~10-8 см друг от друга. При таких малых расстояниях между соседними ионами оказывается существенным туннельный эффект. Благодаря этому эффекту, электрон, который притягивается кулоновской силой к «своему» иону, имеет конечную вероятность просачивания через потенциальный барьер между ионами и может оказаться у соседнего иона. Возможность перехода электрона от одного иона к соседнему приводит к тому, что энергетические уровни, характерные для изолированных ионов, расщепляются на зоны. При этом новые уровни энергии соответствуют состояниям, в которых электрон принадлежит всем ионам кристалла.
Рассмотрим одномерную модель кристалла, в котором n узлов расположены на расстоянии a друг от друга. Волновая функция Ψ электрона в периодическом поле решетки является решением уравнения Шредингера:
HΨ = E Ψ (4.1),
 |
где Un - потенциальная энергия взаимодействия с n –м узлом кристаллической решетки.
 |
Если имеется только один узел n, волновая функция электрона удовлетворяет уравнению:
где E0α энергия электрона, находящегося у узла n в состоянии α.
 |
В кристаллической решетке электрон может в силу периодичности находиться в состоянии α у любого узла. Поэтому будем искать решение уравнения (4.1) в виде:
 |
где Cn – постоянные коэффициенты. Из (4.1) и (4.4) следует
 |
где Eα - энергия электрона в кристалле. Умножив (4.5) слева на Ψm,α и интегрируя по x, получаем
 |
Так как волновые функции Ψ m,α и Ψ n,α, принадлежащие разным узлам кристаллической решетки, слабо перекрываются между собой, можно считать их ортогональными. C учетом того, что все интегралы, у которых m не совпадает с n, обращаются в нуль, интегралы
(в силу нормировки); вводя обозначения 
и 
заменяя m на n, получаем:
Уравнение (4.7) имеет решение:
где а – постоянный коэффициент. Подставляя (4.8) в (4.7), получаем
 |
Так как соs k принимает значение от - 1 до +1, то согласно (4.9) энергия принимает значение в интервале от
.
 |
Следовательно, вместо одного атомного уровня E0α в кристалле появляются энергетические зоны шириной
 |
Число уровней в энергетической зоне можно определить, накладывая на коэффициенты Сn условие цикличности
 |
которое означает, что в бесконечном кристалле узел n и узел n + N эквивалентны.
Из (4.8) и (4.11) следует
Равенство (4.12) выполняется, когда k принимает значения
k =β (2π / N) (4.13),
где β - целое число. При β = 0 величина k = 0, при β = N величина k = 2π. Из (4.9) видно, что значения k = 0 и k = 2π соответствует одна и та же энергия. Поэтому для подсчета числа разных энергетических уровней необходимо учесть только следующие значения β
β = 0,1,2,…., (N -1). (4.14)
Отсюда следует, что в энергетической зоне имеются N различных уровней, т.е. столько же, сколько имеется узлов.
Рассмотрим кристалл, в узлах которого находятся ионы одновалентных элементов. Если каждый атом отдает в газ свободных электронов один электрон, то имеется N свободных электронов, которые заполняют только половину энергетической зоны. Действительно, согласно (4.14), в зоне имеется N уровней, в каждом из которых могут по принципу Паули находиться два электрона. Поэтому число состояний в зоне равно 2 N и N электронов занимают только половину зоны. Такое состояние соответствует металлическому состоянию твердого тела.
Если в узлах кристаллической решетки находятся ионы двухвалентных элементов, и каждый из N атомов отдает два электрона в систему свободных электронов, то число свободных электронов равно 2 N. В этом случае число свободных электронов равно числу состояний в энергетическо й зоне, зона оказывается полностью заполненной, и электропроводность должна отсутствовать. Следует учесть, что энергетические зоны кристалла возникают от различных энергетических уровней изолированного атома. Поэтому, если энергетическая зона, возникшая от более высокого атомного уровня E01 частично перекрывается энергетической зоной, появившейся от более низкого атомного уровня E0, то несмотря на полное заполнение последней, у электронов проводимости имеется возможность перехода, на свободные уровни более высокой зоны и вещество также находится в металлическом состоянии.
Если нижняя и выше лежащая зона не перекрываются, то возможны два случая. Если ширина запрещенной зоны Δ << k T, то тепловое движение может поднять часть электронов из нижней заполненной зоны в незаполненную зону. В этом случае вещество является полупроводником. Если Δ >> k T, то тепловое
движение не может перевести электрон в зону проводимости, и вещество ведет себя как изолятор.
Как правило, при комнатной температуре ширина запрещенной зоны у полупроводников лежит в интервале 0,08 ≤ Δ ≤ 3 эВ, а у изоляторов выше 3 эВ. Некоторые величины ширины запрещенной зоны веществ приведены в таблице.
Согласно законам квантовой физики, поглощение электроном фотона должно сопровождаться переходом электрона из валентной зоны в зону проводимости. При этом должно выполняться условие соответствия энергии фотона ширине запрещенной зоны
где h – постоянная Планка; с - скорость света; λгр - соответствует длине волны света, поглощаемой на границах валентной зоны и зоны проводимости.
 |  | ||
Таблица 4.1
Величины энергии запрещённой зоны у ряда кристаллов
| Вещество | Δ, эВ | Вещество | Δ, эВ |
| AlSb | 1.6 | ZnSe | 2.8 |
| InSb | 0.2 | SnS | 1.3 |
| ZnS | 3.7 | PbS | 0.6 |
| CdS | 2.3 | TiO2 | 3.0 |
Из приведенного соотношения следует, что увеличении длины волны падающего света будет наблюдаться быстрое падение коэффициента поглощения. Имея спектр поглощения (рис.4.1), можно определить λгр по точке максимального изменения коэффициента поглощения («край поглощения»), используя которую вычислить Δ по формуле (4.15).
Коэффициент отражения и поглощения связаны между собой соотношением:
К = 100 – R %.