Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Построим доверительные интервалы для параметров нормального распределения, т. е. когда выборка производится из генеральной сово­купности, имеющей нормальное распределение с параметрами аист².

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии

Пусть с. в. X ~ iV(a, а); а — известна, доверительная вероятность (надежность) 7 — задана.

Пусть х\,х₂,...,х_п — выборка, полученная в результате проведе­ния п независимых наблюдений за с. в. X. Чтобы подчеркнуть случай­ный характер величин х\,х₂, • •., i_n, перепишем их в виде Х\, Х₂,......, Х„, т. е. под Xi будем понимать значение с. в. X в г-м опыте. Случайные величины Xi, Х_2:..., Х_п — независимьг, закон распреде­ления любой из них совпадает с законом распределения с. в. X (т. е. Xi ~ iV(a, сг)). А это значит, что МХ_г = МХ₂ =... = МХ_п = MX = a, DXi = DX₂ =... = DX_n = DX. Выборочное среднее

n

x_B — x = n У^ Xj i=i

также будет распределено по нормальному закону (примем без дока­зательства). Параметры распределения X таковы: М(Х) = a, D(X) = о¹

= —. Действительно,

М(Х) = М (1£ хЛ = I ■ £ МХ_; = I • £ MX = MX = а,

^ г=1 ' г—1 г=1

^ t=l ' г=1 г=1

Таким образом, X ~ N (a, 1.

V \ЛМ

Следовательно, пользуясь формулой

р{|Х-а|<а = 2Ф₀(^)=2ф(1)~1

(формула (2.47)), можно записать

7 - р{\Х -а\<с} = 2Ф₀ (Ц^) = 2ФоМ,

е ■ у/п

где t — —^—. Из последнего равенства находим

£ = (7.3)

у/П

поэтому 7 = р < \Х - а\ < > = 2Ф₀(£) или

I J

р (х - * • ^ < а < х +1 • = 2Ф₀(*) == 7.

I у/п у/пJ

В соответствии с определением доверительного интервала получа­ем, что доверительный интервал для а = MX есть

* + *.-£=), (7.5)

\/п у/П,

где t определяется из равенства (7.4), т.е. из уравнения

Фоф - I (7-6)

7 2

1 + 7

(или Ф(£) = —^—)? ^ПР^И заданном 7 по таблице функции Лапласа на­ходим аргумент t.

Заметим, что из равенства (7.3) следует: с возрастанием объема выборки п число е убывает и, значит, точность оценки увеличивается; увеличение надежности 7 влечет уменьшение точности оценки.

Пример 7.5. Произведено 5 независимых наблюдений над с. в. X ~ ~ JV(a,20). Результаты наблюдений таковы: х\ — —25, х₂ ~ 34, #3 — = — 20, = 10, Ж5 = 21. Найти оценку для а = MX, а также построить для него 95%-й доверительный интервал.

О Находим сначала х_ъ: х = ~ • (-25 + 34 - 20 + 10 + 21) = 4, т.е.

_ у

х = 4. Учитывая, что 7 = 0,95 и Фо(£) = ^ ^П0ЛУ^чаем ФоМ — 0,475.

По таблице (см. Приложение) выясняем, что t = 1₇ = 1,96. Тогда е = 1 96 ■ 20

= ———— ~ 17,5 (формула (7.3)). Доверительный интервал для а = v5

(7.4)

= MX (согласно (7.6)) таков: (4 - 17,5;4 + 17,5), т.е. (-13,5; 21,5). •

Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть с. в. X ~ N(a, а), а — неизвестна, 7 — задана. Найдем такое число е, чтобы выполнялось соотношение р{Х — £ < а < Х + е} = 7 или

р{\Х -а\<е} = у. Введем случайную величину

~Х — а

Т =

s

п

у /п

где S — исправленное среднее квадратическое отклонение с. в. X, вы­численное по выборке:

-L- - - Х)\

1=1

Доказывается, что с. в. Т имеет распределение Стьюдента (см. п. 4.3) с п — 1 степенью свободы. Плотность этого распределения имеет вид:

где Г(р) = J u^p~^l - e~^udu — гамма-функция; /т(£,п — 1) — четная о

(7.7)

функция.

Перейдем в левой части равенства (7.7) от с. в. X к с. в. Т:

\Х - а\ _£

у/П у /К _J

или р ||Т| < = 7 или р{|Т| < Ц} = 7, где

(7.8)

е • у/п

Ц- _s •

2- J fr{t,n — l)dt = 7.

о

Пользуясь таблицей квантилей распределения Стьюдента (см. прило­жение 4 на с. 252), находим значение <₇ в зависимости от доверительной вероятности 7 и числа степеней свободы п — 1 (Ц — квантиль уров­ня 1 — 7).

А у/п

Определив значение из равенства (7.8), находим значение е:

е = t₇ - -А-. (7.9)

Следовательно, равенство (7.7) принимает вид

plx-t₇--^<a<X + t₇--^\= 7.

I Vⁿ V™ J

А это значит, что интервал

покрывает о — MX с вероятностью 7, т. е. является доверительным интервалом для неизвестного математического ожидания с. в. X.

fn Пример 7.6. По условию примера 7.5, считая, что с. в. X ~ iV(a,<j), построить для неизвестного MX = а доверительный интервал. Считать 7 = 0,95.

О Оценку х для MX уже знаем: х = 4. Находим значение S:

S² = 1 ((-25 - 4)² • 1 + (34 - 4)² + (-20 - 4)² + (10 - 4)² + (21 - 4)²) =

= 660,5; S «25,7. По таблице для 7 = 0,95 и n — 1 = 4 находим t_y = 2,78.

25 7

Величина Ц находится из условия и p{\T\<t-r}= J fT(t,n-l)dt = 2- J /т&п-1)<и = ъ

т. е. из равенства

Следовательно, £ = 2,78 - тр^ ~ 31,9. Доверительный интервал таков: (—27,9; 35,9). ' •

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормального распределения

Пусть с. в. X ~ N(a,a), о — неизвестно, 7 — задано. Можно по­казать, что если MX = а известно, то доверительный интервал для среднего квадратического отклонения о имеет вид:

{^ ' У^ '

\ Х2 ' Xi) '

1 ⁷¹

где п — объем выборки, s² — ^ — о)², а

i=l

2 _ 2 2 _ 2 ** ^— ' ^_ ^ ¹ ~ 7

2 2 '^п

являются квантилями ^-распределения ^{с п} степенями свободы (см. п. 4.3), определяемые по таблице квантилей Ха,н распределения Хп (^см- приложение 3 на с. 251).

Если а = MX неизвестно, то доверительный интервал для неиз­вестного сг имеет вид:

\ Х2 ' Xi) '

п

где п — объем выборки, S² = —• — X)² — исправленное

i- 1

среднее квадратическое отклонение, квантили

2 __ 2 2 ________________ 2

Xl~Xl+7 1 Х2 — Х1-7

—2——2—*

о 1 т 1 — 'У

определяются по таблице к ^ПР^И к=п~1иа= —^— и а = — соответственно.

Пример 7.7. Для оценки параметра нормально распределенной слу­чайной величины была сделана выборка объема в 30 единиц и вычи­слено s = 1,5. Найти доверительный интервал, покрывающий а с ве­роятностью 7 = 0,90.

О Имеем п — 30, 7 = 0,9. По таблице Ха к ^нах°Д^им Xi = X²I + 0,9 =х²(0,95;29) = 17,7,

а

—о—:30—1

xl = х\ — о,9 = Х²(0,05;29) - 42,6.

₂;30-1

Доверительный интервал имеет вид:

/у/30-1-1,5 л/30 — 1 • 1,5\ V ' чЯ7Д)

или 1,238 < СГ < 1,920. •

Скажем несколько слов о доверительном интервале для оценки ве­роятности успеха при большом числе испытаний Бернулли.

(7.10)

Доверительный интервал, который с надежностью 7 покрывает оцениваемый параметр р при больших значениях п (порядка сотен), имеет вид (рьрг), где

P\=P -t- у--------- ^----- и р₂=р +t-у--------- п---

где р* = — относительная частота события A; t определяется из равенства 2Фо(£) = 7.

Для оценки приближенного равенства р р* можно использовать

равенство р{|р* — р| < е} = 2Фо ^J^^J (см. п. 4.1).

Упражнения

1. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка ко­торого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально с а = 15 м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину моря с ошибкой не более 5 м при надежности 7 = 0,9?

2. По условию примера 6.3 найти точечную оценку и доверительный интервал для среднего роста студентов, считать 7 = 0,95.

3. Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвест­ной вероятностью р появления события а в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки р с надежностью 0,95, если в 400 испытаниях события а появилось 80 раз.

7.5. Проверка статистических гипотез Задачи статистической проверки гипотез

Одна из часто встречающихся на практике задач, связанных с при­менением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или, напро­тив, отвергнуто некоторое предположение (гипотеза) относительно ге­неральной совокупности (случайной величины).

Например, новое лекарство испытано на определенном числе лю­дей. Можно ли сделать по данным результатам лечения обоснованный вывод о том, что новое лекарство более эффективно, чем применявшие­ся ранее методы лечения? Аналогичный вопрос логично задать, говоря о новом правиле поступления в вуз, о новом методе обучения, о пользе быстрой ходьбы, о преимуществах новой модели автомобиля или тех­нологического процесса и т. д.

Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез ставятся в следующем виде: относительно некоторой генеральной совокупности высказыва­ется та или иная гипотеза Н. Из этой генеральной совокупности из­влекается выборка. Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу Н или принять ее.

Следует отметить, что статистическими методами гипотезу можно только опровергнуть или не опровергнуть, но не доказать. Например, для проверки утверждения (гипотеза Н) автора, что «в рукописи нет ошибок», рецензент прочел (изучил) несколько страниц рукописи.

Если он обнаружил хотя бы одну ошибку, то гипотеза Н отверга­ется, в противном случае — не отвергается, говорят, что «результат проверки с гипотезой согласуется».

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки.

Статистическая гипотеза. Статистический критерий

Под статистической гипотезой (или просто гипотезой) понима­ют всякое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Статистические гипотезы делятся на гипотезы о параметрах рас­пределения известного вида (это так называемые параметрические ги­потезы) и гипотезы о виде неизвестного распределения {weпараметри­ческие гипотезы).

Одну из гипотез выделяют в качестве основной (или нулевой) и обозначают Hq, а другую, являющуюся логическим отрицанием Hq, т. е. противоположную Hq — в качестве конкурирующей (или альтер­нативной) гипотезы и обозначают Н\.

Гипотезу, однозначно фиксирующую распределение наблюдений, называют простой (в ней идет речь об одном значении параметра), в противном случае — сложной.

Например, гипотеза Hq, состоящая в том что математическое ожи­дание с.в. X равно ао, т.е. MX ~ ао, является простой. В качестве альтернативной гипотезы можно рассматривать одну из следующих ги­потез: H\i MX > ао (сложная гипотеза), Н\\ MX < ао (сложная), Н\: MX ф ао (сложная) или Н\\ MX = ai (простая гипотеза).

Имея две гипотезы Hq и Нi, надо на основе выборки Xi,..., Х_п принять либо основную гипотезу #о, либо конкурирующую Н\.

Правило, по которому принимается решение принять или откло­нить гипотезу Hq (соответственно, отклонить или принять Hi), назы­вается статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы Щ.

Проверку гипотез осуществляют на основании результатов выбор­ки Xi, Х₂,...,Х_п, из которых формируют функцию выборки Т_п = = Т(Х 1,^2,... Д_п)) называемой статистикой критерия.

Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем. Мно­жество возможных значений статистики критерия Т_п разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область S, т. е. область отклонения гипотезы Hq и область S принятия этой гипоте­зы. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия (т. е. значение критерия, вычисленное по выборке: Т_наб_л — Т{х\, х₂,..., х_п)) попадает в критическую область S, то основная гипотеза Hq отклоняет­ся и принимается альтернативная гипотеза Н\ \ если же Т_наб_л попадает в S, то принимается Но, а Hi отклоняется.

При проверке гипотезы может быть принято неправильное реше­ние, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов:

Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается нулевая гипо­теза Hq, когда на самом деле она верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернатив­ная гипотеза Hi, когда она на самом деле верна.

Рассматриваемые случаи наглядно иллюстрирует следующая таб­лица.

Гипотеза Но	Отвергается	Принимается
верна неверна	ошибка 1-го рода правильное решение	правильное решение ошибка 2-го рода

 

Вероятность ошибки 1-го рода (обозначается через а) называется уровнем значимости критерия.

Очевидно, а — p(H\\Hq). Чем меньше а, тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу. Допустимую ошибку 1-го рода обычно за­дают заранее.

В одних случаях считается возможным пренебречь событиями, ве­роятность которых меньше 0,05 (а = 0,05 означает, что в среднем в 5 случаях из 100 испытаний верная гипотеза будет отвергнута), в других случаях, когда речь идет, например, о разрушении сооружений, гибе­ли судна и т.п., нельзя пренебречь обстоятельствами, которые могут появиться с вероятностью, равной 0,001.

Обычно для а используются стандартные значения: а — 0,05; а = 0,01; 0,005; 0,001.

Вероятность ошибки 2-го рода обозначается через /3, т. е. /3 = = р(Яо|Я0.

Величину 1 — /3, т. е. вероятность недопущения ошибки 2-го рода (отвергнуть неверную гипотезу Hq, принять верную Hi), называется мощностью критерия.

Очевидно, 1 — /3 = p(i?i|jffi) — p{{xi,x2,...,х_п

Чем больше мощность критерия, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше, что, конечно, желательно (как и уменьшение а).

Последствия ошибок 1-го, 2-го рода могут быть совершенно раз­личными: в одних случаях надо минимизировать а, в другом — _tв. Так, применительно к радиолокации говорят, что а — вероятность пропуска сигнала, /3 — вероятность ложной тревоги; применительно к производству, к торговле можно сказать, что а — риск поставщика (т. е. забраковка по выборке всей партии изделий, удовлетворяющих стандарту), /3 — риск потребителя (т.е. прием по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющей стандарту); применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го рода — осуждению невиновного.

Отметим, что одновременное уменьшение ошибок 1-го и 2-го рода возможно лишь при увеличении объема выборок. Поэтому обычно при заданном уровне значимости а отыскивается критерий с наибольшей мощностью.

Методика проверки гипотез сводится к следующему:

1. Располагая выборкой Х\, Х₂, • • •, Х_п, формируют нулевую гипотезу Но и альтернативную Н\.

2. В каждом конкретном случае подбирают статистику критерия Т_п — — Т(Х 1,^2,..., Х_п), обычно из перечисленных ниже: U — нормаль­ное распределение, х² — распределение хи-квадрат (Пирсона), t — распределение Стьюдента, F — распределение Фишера-Снедекора.

3. По статистике критерия Т_п и уровню значимости а определяют критическую область S (и S). Для ее отыскания достаточно найти критическую точку t_Kp, т.е. границу (или квантиль), отделяющую область S от S.

Границы областей определяются, соответственно, из соотношений: Р(Т_п ~> ^кр) — ск, для правосторонней критической области S (рис. 63); Р{Т_п < t_Kр) = ск, для левосторонней критической обла­сти S (рис. 64); Р(Т_п < = Р{Т_п > tj_p) = для двусторонней критической области S (рис. 65).

Рис. 63

 

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по ко­торым и находят критическую точку, удовлетворяющую приведен­ным выше соотношениям.

4. Для полученной реализации выборки х = (xi,x₂,..., х_п) подсчи­тывают значение критерия, т. е. Т_на бл = Т(х i, ж₂,...,x_n) = t.

5. Если t £ S (например, t > t_Kp для правосторонней области 5), то нулевую гипотезу Щ отвергают; если же t £ S (t < £_кр), то нет оснований, чтобы отвергнуть гипотезу Hq.

Рис. 64

 

 

Рис. 65