Биография Н.И. Лобачевского

1729 – 1856

Рис. 3 Н. И. Лобачевский

Николай Иванович Лобачевский (см. рис. 3) родился в 1760г в семье чиновника геодезического департамента.

В 1802 году поступил в Казанскую гимназию, в 1807 был зачислен в Казанский университет. С 1814 г. Лобачевский преподает в университете. В течение нескольких лет он избирался деканом физико-математического факультета. С 1827 г. начинается 19-летний период его непрерывного ректорства.

На днях исполнилось 88 лет с того дня (11 февраля 1826) как Лобачевский сделал доклад «Сжатое изложение начал геометрии» на заседании ученого совета, дата этого выступления считается днём рождения неевклидовой геометрии.

В 1830г. в «Казанском вестнике» выходит работа «О началах геометрии». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского.

Однако научные идеи Лобачевского не были поняты современниками.

В 1835—1838 Лобачевский опубликовал в «Учёных записках» статьи о «воображаемой геометрии», а затем вышла наиболее полная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».

В 1837 году в Берлине вышла статья Лобачевского «Воображаемая геометрия» на французском языке, а в 1840 году Лобачевский опубликовал на немецком языке небольшую книгу «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится чёткое и систематическое изложение его основных идей.

В 1842 году по рекомендации Гаусса Лобачевский был избран членом-корреспондентом Гёттингенского королевского научного общества. Это избрание стало единственным прижизненным признанием научных заслуг Лобачевского.

Н. И. Лобачевский дослужился до высоких чинов, он был награжден большим числом орденов, но о его геометрии предпочитали не говорить.

Николай Иванович Лобачевский умер непризнанным.

Прошло еще не менее двадцати лет, прежде чем геометрия Лобачевского завоевала права гражданства в математике.

В честь Лобачевского названы:

8. Малая планета № 1858.

9. Кратер на обратной стороне Луны (9.9°N, 112,6°E).

10. Научная библиотека Казанского университета.

11. Улицы в Москве, Киеве, Казани, Липецке и др. городах.

12. Один из самолётов Аэрофлота.

13. Школа № 52 во Львове, Украина.

14. Лицей им. Н. И. Лобачевского при КГУ (Казань)

Н. И. Лобачевскому присвоено много наград и званий (см. таблица 2).

Таблица 2

Награды и звания Лобачевского

Геометрия Лобачевского

Рассмотрим основные понятия, на которых базируется изложение геометрии Лобачевского. За основные объекты приняты точка, прямая и отрезок. За основные отношения между этими объектами принимаются:

Точка принадлежит фигуре, в частности прямой;

Точка лежит между двумя точками для точек прямой.

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.

Лучом AB называется часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по ту же сторону от точки А, что и точка В. точка А называется вершиной луча.

Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки, - сторон угла.

Аксиоматика Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание – аксиому параллельности Лобачевского.

Воображаемой геометрией Лобачевский назвал ее потому, что она пока оставалась доступной лишь воображению, а не опыту.

Если вместо V постулата допустить, что для пары «точка—прямая» V постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского. Понятно, что в геометрии Лобачевского все эквивалентные V постулату Евклида утверждения неверны.

V постулат в Геометрии Лобачевского: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не менее двух прямых, не пересекающая данную.

Параллельные и расходящиеся прямые

Лобачевский изменил само понимание параллельных линий. У Евклида непересекающиеся и параллельные — одно и то же, у Лобачевского: из всех, не пересекающих данную прямую АВ, лишь две прямые называются параллельными, при этом различают направление параллельности.

Параллельность прямых на евклидовой плоскости можно характеризовать и другими свойствами, например, наличием у них многих общих перпендикуляров или постоянством длин этих перпендикуляров.

На плоскости Лобачевского для двух непересекающихся прямых эти утверждения неверны. Здесь возможны два случая: прямые имеют общий перпендикуляр и прямые не имеют общего перпендикуляра.

Поэтому постулат уточняется: если дана прямая АВ и не лежащая на ней точка М, то через точку М в плоскости МАВ можно провести две прямые, параллельные данной прямой АВ. Параллельными Лобачевский, следовательно, называет такие, которые отделяют непересекающие от пересекающих данную прямую АВ. Расстояние между прямой АВ и каждой из параллельных не остается постоянным — уменьшается в сторону параллелизма и увеличивается в противоположную сторону. Параллельные прямые могут близко подойти друг к другу, но они не могут пересечься.

Плоскость, в которой существуют такие параллельные, принято называть плоскостью Лобачевского. Эта плоскость вовсе не «плоская» в евклидовом смысле. В евклидовой плоскости угол параллельности неизменен и всегда равен 90°; в геометрии Лобачевского он может принимать все значения — от 0 до 90°. Следовательно, евклидова геометрия есть частный (предельный) случай геометрии Лобачевского, в которой угол параллельности переменный. Геометрически величина угла параллельности зависит от длины перпендикуляра MN; то есть если перпендикуляр уменьшается, угол параллельности увеличивается, постепенно приближаясь к 90°.

Таким образом, в новой геометрии существует взаимозависимость величины угла и длины отрезка. Для точки М, находящейся от заданной прямой на расстоянии MN = a (рис. 4), Лобачевский определил формулу для угла параллельности φ= П(a):

где k— постоянная, определяющая фиксированный по величине отрезок. Она получила название радиуса кривизны пространства Лобачевского. Подобно сферической геометрии существует бесконечное множество пространств Лобачевского, различающихся величиной k.

Эта зависимость называется функцией Лобачевского. Величина константы k зависит от конкретных физических условий в данной части мирового пространства. Исключительно большая величина константы свидетельствует о том, что наше пространство обладает огромным радиусом кривизны и, следовательно, довольно малой, близкой к нулю, кривизной, то есть пространство в нашей части вселенной имеет плоский, евклидов характер.

В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата. Например, вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр и др. Однако теоремы, где применяется аксиома параллельности, видоизменяются.

Приведём (в современных обозначениях) несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.

· Теорема о сумме углов треугольника: В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°. Разность между 180° и суммой углов треугольника положительна и называется дефектом (D) этого треугольника. Ниже представлена формула для площади треугольника (см. форм. (1)).

(1)

Самую большую площадь имеет треугольник с нулевыми углами, а его стороны имеют бесконечную длину.

· Два неравных равносторонних треугольника имеют неравные углы.

· В геометрии Лобачевского не существует подобных фигур.

· Если углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

· Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону есть кривая линия, которая называется эквидистантой.

· Через точку, не лежащую на данной прямой проходит бесконечно много прямых, не пересекающихся с данной, среди них две параллельные прямые в смысле Лобачевского, при этом мы должны отличать ещё сторону параллельности

· Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они расходятся

· В геометрии Лобачевского существует зависимость между углами и длиной сторон треугольника.

· Длина окружности не пропорциональна ее радиусу, а растет быстрее.

· Возможные расположения двух прямых на плоскости Лобачевского: две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо являются расходящимися.

В заключение отметим, что Лобачевский с исчерпывающей полнотой развил все разделы своей неевклидовой геометрии, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

Доказательство независмости пятого постулата (построение моделей)

Доказать непротиворечивость новой геометрии ни Лобачевский, ни Бойяи не сумели — тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами. Только спустя 40 лет появились исследования Э. Бельтрами (1868), модель Клейна (1871) и модель Пуанкаре (1882), реализующие аксиоматику геометрии Лобачевского на базе евклидовой геометрии.

В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского.

Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку P, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых») (например, b, b').

Позже Пуанкаре, в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.

Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.

Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее.

Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия.

В 1868 году итальянский математик Э. Бельтрами исследовал поверхность c постоянной отрицательной кривизной, называемую псевдосферой и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского.

Псевдосфе́ра — поверхность, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

Однако здесь даётся интерпретация геометрии только локально, то есть на куске, а не на всей плоскости Лобачевского.