Некоторые плоские фигуры удобно описывать в полярных координатах 
, где 
– полярный радиус точки 
, а 
– её полярный угол (угол, на который надо повернуть в направлении против часовой стрелки положительный луч оси 
до совмещением с радиус–вектором точки 
. Формулы полярной замены:
Криволинейный сектор в полярных координатах задаётся в виде
,
где функция 
определяет границу сектора.
y
x
Площадь криволинейного сектора равна
2) Длина дуги кривой. Пусть кривая 
задана как график функции 
, определенной на отрезке 
. Тогда длина L дуги равна
Если кривая задана в параметрическом виде 
, тогда
Длина дуги в полярных координатах. Частный случай параметрического задания кривой – её задание в полярных координатах: , 
. Тогда 
, 
и прямое дифференцирование и подстановка производных в формулу длины дуги, заданной в параметрическом виде, дает
3) Объем тела вращения. Многие пространственные объекты удобно представлять себе как множество точек, заметаемых той или иной плоской фигурой при её вращении в трёхмeрном пространстве вокруг какой−нибудь прямой, например, вокруг оси .
y
y = f (x)
a b x
z
Пусть тело получено вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
, осью и прямыми 
, 
. Тогда его обьём равен
4) Площадь поверхности тела вращения. В той же ситуации, что и в пункте 3), площадь боковой поверхности тела вращения равна
Контрольная работа №1
Вариант 0
1) 
| 2) 
| 3) 
|
4) 
| 5) 
| 6). 
|
7) 
| 8) 
|
Решение варианта 0
1) 
.
2) 
.
3) 
.
4) 
.
5) 
.
6) 
.
7) 
Найдем интеграл 
.
.
Ответ: 
.
8) 
.
Разложим интегрируемую функцию на простые дроби
.
Приравняв числители, получим
.
Для нахождения коэффициентов A, B, C подставим в данное тождество три различных значения переменной x:
Таким образом
Вариант 1
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6). 
7) 
8) 
Вариант 2
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 3
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 4
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 6) 
7) 
8) 
Вариант 5
1) 
2) 
3. 
4) 
5) 
6. 
7) 
8) 
Вариант 6
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 7
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 8
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 9
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 10
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 11
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 6) 
7) 
8) 
Вариант 12
1) 
2) 
3. 
4) 
5) 
6. 
7) 
8) 
Вариант 13
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6). 
7) 
8) 
Вариант 14
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8). 
Вариант 15
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 16
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 17
1) 
2) 
3. 
4) 
5) 
6. 
7) 
8) 
Вариант 18
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 19
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 20
1) 2) 3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 21
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Вариант 22
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 8) 
Вариант 23
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6. 
7) 
8) 
Вариант 24
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6). 
7) 
8) 
Вариант 25
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8). 
Контрольная работа №2
Вариант 0
1) 
| 8) 
| 15) 
|
2) 
| 9)  0
| 16) 
|
3) 
| 10) 
| 17) 
|
4) 
| 11) 
| 18) 
|
5) 
| 12) 
| 19) 
|
6) 
| 13) 
| 20) 
|
7) 
| 14) 
|
Решение варианта 0
1) 
.
2) 
.
3) 
.
4)
Поделим с остатком числитель подынтегральной функции на знаменатель.
.
5) 
Разложим интегрируемую функцию на простые дроби
.
Приравняв числители, получим
,
откуда
Таким образом
6) 
Откуда
Таким образом
7) 
.
8)
Таким образом
9) 
.
10) 
.
11) 
Таким образом,
Ответ: 
.
12) 
Вычисляем первый из двух оставшихся интегралов:
Второй интеграл равен
Ответ: 
.
13) 
14) 
15) 
16) 
17)
18) 
19)
.
Разложим интегрируемую функцию на простые дроби. Поскольку дробь неправильная, сначала поделим с остатком ее числитель на знаменатель
Приравняв числители, получим
Откуда
Таким образом
20)
Приравняв числители, получим
Откуда
Таким образом
i) 
ii) 
Ответ: 
Вариант 1
1) 
| 8) 
| 15) 
|
2) 
| 9) 
| 16) 
|
3) 
| 10) 
| 17) 
|
4) 
| 11) 
| 18) 
|
5) 
| 12) 
| 19) 
|
6) 
| 13) 
| 20) 
|
| 7)
| 14) 
|
Вариант 2
1) 
| 8) 
| 15) 
|
2) 
| 9) 
| 16) 
|
3) 
| 10) 
| 17) 
|
4) 
| 11) 
| 18) 
|
5) 
| 12) 
| 19) 
|
6) 
| 13) 
| 20) 
|
7) 
| 14) 
|
Вариант 3
1) 
| 8) 
| 15) 
|
2) 
| 9) 
| 16) 
|
3) 
| 10) 
| 17) 
|
4) 
| 11) 
| 18) 
|
5) 
| 12) 
| 19) 
|
6) 
| 13) 
| 20) 
|
7) 
| 14) 
|
Вариант 4
1) 
| 8) 
| 15) 
|
| 2)
| 9) 
| 16) 
|
3) 
| 10) 
| 17) 
|
4) 
| 11)
| 18) 
|
5) 
| 12) 
| 19) 
|
6) 
| 13) 
| 20) 
|
7) 
| 14) 
|
Вариант 5
1) 
| 8) 
| 15) 
|
2) 
| 9) 
| 16) 
|
3) 
| 10) 
| 17) 
|
4) 
| 11) 
| 18) 
|
5) 
| 12) 
| 19) 
|
6) 
| 13) 
| 20) 
|
7) 
| 14) 
|
Вариант 6
1) 
| 8) 
| 15) 
|
2) 
| 9) 
| 16) 
|
3) 
| 10) 
| 17) 
|
4) 
| 11) 
| 18) 
|
5) 
| 12) 
| 19) 
|
6) 
| 13) 
| 20) 
|
7) 
| 14) 
|
Вариант 7
1) 
| 8) 
| 15) 
|
2) 
| 9) 
| 16) 
|
3) 
| 10) 
| 17) 
|
4) 
| 11) 
| 18) 
|
5) 
| 12) 
| 19) 
|
6) 
| 13) 
| 20) 
|
7) 
| 14) 
|
Вариант 8
1) 
| 8) 
| 15) 
|
| 2)
| 9) 
| 16) 
|
3) 
| 10) 
| 17) 
|
4) 
| 11) 
| 18)
|
5) 
| 12) 
| 19) 
|
6) 
| 13) 
| 20) 
|
7) 
| 14) 
|
Вариант 9
1) 
| 8) 
| 15) 
|
| 2)
| 9) 
| 16) 
|
3) 
| 10) 
| 17) 
|
4) 
| 11) 
| 18) 
|
5) 
| 12) 
| 19) 
|
6) 
| 13) 
| 20) 
|
7) 
| 14) 
|
Вариант 10
1) 
| 8) 
| 15)
|
2) 
| 9) 
| 16) 
|
3) 
| 10) 
| 17) 
|
4) 
| 11) 
| 18) 
|
5) 
| 12) 
| 19) 
|
6) 
| 13) 
| 20) 
|
7) 
| 14) 
|
Вариант 11
| 
| 
| |
Поиск по сайту©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд |