МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Классификация поверхностей.
Определитель или репер поверхности
Без преувеличения можно сказать, что по разнообразию форм и свойств, по своему значению при создании машин и сооружений, по той роли, которую они играют в науке, технике, архитектуре, изобразительном искусстве, поверхности не имеют равных среди других геометрических фигур. В инженерной практике поверхности также получили широкое распространение. Особенно большое значение в машиностроении имеют поверхности вращения и винтовые поверхности, используемых при создании конструкций винтов, шнеков, сверл, фрез, резьбовых деталей и т.д. Трудно себе представить деталь или механизм без цилиндрических поверхностей (отверстий, шеек валов и т.п.). Поверхность тора применяется в глобоидных червячных передачах, в форме обводов маховиков и шкивов, для плавного перехода от одной поверхности к другой с целью уменьшения напряжений (галтели). Поверхности используются при конструировании исполнительных органов горных машин, винтовых конвейеров, смесительных установок, перекрытия строительных объектов, самолетов, автомобилей, лопаток турбин и т.д. Их область применения расширяется вместе с развитием и уточнением геометрических понятий, совершенствованием и классификацией их моделей. Многообразие форм поверхностей создает большие трудности при их изучении. Для облегчения изучения поверхностей постоянно осуществляется их систематизация путем деления на классы. В настоящее время существуют различные системы классификации поверхностей, в основу которых положены разнообразные признаки. Одна и та же поверхность может относиться к различным классам. Поверхности различают по закону движения образующих, по форме образующих, по виду аналитического выражения поверхности, по дифференциальным свойствам и т. д. Как правило, определения поверхностей и их классификации основаны на физических понятиях – движение, натяжение. Изучение свойств поверхностей и их классификация относится к области начертательной и дифференциальной геометрий. В начертательной геометрия каждая поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений линии, движущейся в пространстве по определенному закону. Линия, образующая своим движением поверхность, называется образующей. Закон движения образующей задается неподвижными направляющими элементами. Наряду с выявлением различий между поверхностями большое значение имеет также выявление общих признаков. Если абстрагироваться от физических понятий образования поверхностей, то поверхностью является непрерывное множество линий или точек, подчиненных определенному закону – аналитическому или графическому. Отсюда, геометрические классификации поверхностей определяются возможными позиционными и метрическими отношениями между линиями или точками. Поверхности на чертеже задаются набором элементов (репером или определителем поверхности), определяющим закон их образования. Так, например, поверхность вращения задается осью и образующей линией. Винтовая поверхность задается осью, образующей линией и шагом. Линейчатая поверхность общего вида может быть задана прямолинейной образующей и тремя направляющими линиями. Направляющие линии могут быть прямыми и плоскими или пространственными кривыми линиями. Если все три направляющие поверхности являются скрещивающимися прямыми линиями, то поверхность называется однополостным гиперболоидом. Однополостный гиперболоид вращения имеет широкое распространение в строительной технике в качестве покрытий, опор, башен, мачт. Поверхность однополостного гиперболоида обладает замечательным свойством: три положения образующей можно принять за направляющие поверхности, а направляющие – за образующие. Таким образом, у однополостного гиперболоида два семейства прямолинейных образующих. Если одна направляющая линия находится в бесконечности, то линейчатая поверхность называется поверхностью с плоскостями параллелизма (поверхность Каталана). К ним относятся цилиндроиды (две направляющие – кривые линии), коноиды (одна направляющая – прямая линия, а другая кривая линия) и косые плоскости (две направляющие – прямые линии). Косая плоскость называется гиперболическим параболоидом, так как в её сечении получаются параболы и гиперболы. Поверхность гиперболического параболоида также обладает замечательным свойством: она имеет два семейства прямолинейных образующих и две плоскости параллелизма. Обратим особое внимание на цилиндр, конус и торс. Конус и цилиндр образуются движением прямолинейной образующей по направляющей кривой линии, при этом образующая во всех положениях пересекает неподвижную точку (конечную или бесконечно-удаленную). Торс образуется движением прямой линии, во всех своих положениях занимающей касательное положение к пространственной кривой линии (ребру возврата). Образующими линейчатой поверхности общего вида является скрещивающиеся прямые линии, между которыми существует единственное кратчайшее расстояние. Если выделить на линейчатой поверхности общего вида дискретное множество образующих прямых линий, то множество всех кратчайших расстояний между ближайшими образующими определит некоторую ломаную линию. При неограниченном увеличении числа образующих эта ломаная линия стремится к кривой линии на поверхности (линии сжатия), в точках которой пересекаются близлежащие образующие. Для косой плоскости существует две линии сжатия. Все образующие имеют единственное соприкосновение с линией сжатия, подчиненное определенному закону. Линия сжатия поверхности является аналогом ребра возврата развертываемых поверхностей. С целью обобщения всех линейчатых поверхностей поверхность можно задавать положением прямолинейной образующей относительно одной направляющей кривой линии. Для этой цели можно использовать трехгранник Френе (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Трехгранник Френе
Известно, что в каждой точке А пространственной кривой (кривой двоякой кривизны) q существует единственная касательная t, главная нормаль n, бинормаль s, соприкасающаяся плоскость α, спрямляющая плоскость β и нормальная плоскость γ, образующие трехгранник Френе. Направляющая кривая линия вблизи точки расположена по разные стороны от соприкасающейся плоскости. Если фиксировать определенное положение образующей прямой относительно подвижного трехгранника, например углами (величина углов может быть как постоянной, так и функцией от смещения точки по направляющей кривой), то множество линейчатых поверхностей можно задать таким образом. Действительно, на линейчатой поверхности можно взять любую пространственную кривую линию, в том числе и линию сжатия, за направляющую, а все образующие в каждой точке будут занимать относительно ее определимое положение. Если образующие являются касательными к линии сжатия, то поверхность называете торсовой, а линия сжатия – ребром возврата. Если линия сжатия (ребро возврата) плоская кривая, то поверхность вырождается в плоскость, так гак все касательные к кривой лежат в соприкасающейся плоскости, совпадающей с плоскостью кривой. Для плоской кривой подвижный трехгранник имеет неизменную соприкасающуюся плоскость и неизменное направление бинормалей. Если образующие являются бинормалями к плоской направляющей линии, то образуется цилиндрическая поверхность. Весь класс цилиндрических поверхностей можно исчерпать таким образом. В частном случае, если кривая – окружность, то образуется цилиндрическая поверхность вращения. Если образующие лежат в нормальной плоскости под углом к главной нормали, зависящим от функции кривой, то образуется коническая поверхность. В частном случае, если кривая – окружность, а образующие составляют с главной нормалью постоянный угол, то образуется коническая поверхность вращения. Если образующие лежат в соприкасающейся плоскости под определенным углом к касательной, а линия сжатия плоская кривая – эллипс, то получается однополостный гиперболоид. В частном случае, если линия сжатия – окружность, а образующие составляют постоянный угол с касательными, получается однополостный гиперболоид вращения. Если образующие являются главными нормалями к цилиндрической винтовой линии, то получается прямой закрытый геликоид. Наклонный закрытый геликоид образуется, если образующие составляют постоянный угол. Соответствующим подбором направляющих линий и углов наклона образующей можно образовать и другие виды часто встречающихся поверхностей (косого клина, косого перехода, косой плоскости и т.д.). Существенным различием линейчатых поверхностей является вид линии сжатия, которая может вырождаться в точку или прямую, быть плоской или пространственной закономерной кривой линией. Под закономерной кривой понимается кривая, для которой известен алгоритм (графический или аналитический) построения всех её точек.
Множество линий (параллелей, меридианов, образующих, направляющих) и точек на поверхности определяют каркас поверхности. Поверхность может быть с образующей переменного вида. Каналовые поверхности образуются непрерывным каркасом замкнутых плоских кривых линий, монотонно изменяющихся в процессе их перемещения по направляющей и ориентированных в пространстве определенным образом: параллельно какой-либо плоскости (каналовые поверхности с плоскостью параллелизма) и перпендикулярно к направляющей линии (нормальные или прямые каналовые поверхности). Если у каналовой поверхности образующими являются окружности, то поверхность называется циклической, если при этом окружности постоянного радиуса, а их плоскости перпендикулярны к направляющей линии, то – трубчатой. Характер поверхности зависит от вида линий и их взаимного расположения. Если поверхность задана, то можно построить проекции любой точки или линии, принадлежащей заданной поверхности. Точка принадлежит поверхности, если её проекции принадлежат проекциям какой-либо линии поверхности, например, параллели или образующей. Линия принадлежит поверхности, если она проходит через точки этой поверхности. Линии, ограничивающие проекции точек или линий поверхности на плоскости проекций, являются очерком поверхности. Изображение поверхности очерком и каркасом придает наглядность и удобства в решении позиционных задач, а также значительно развивает пространственное воображение.