Приведенные уравнения (10)-(12) являются частными случаями общего дифференциального уравнения с частными производными второго порядка. Эти уравнения описывают различные физические явления и процессы. Так уравнение гиперболического вида
описывает процессы, связанные с механическими, электрическими, акустическими и другими видами колебаний. Поэтому это уравнение называют волновым уравнением. В этом уравнении независимые переменные t и x характеризуют временную и пространственную координаты.
Уравнение параболического вида
описывает процессы тепло- и массопереноса, диффузию и другие процессы переноса. В случае изучения процесса теплопереноса его называют уравнением теплопроводности.
Уравнение эллиптического вида
,
называемое уравнением Пуассона, описывает стационарные (установившиеся, т. е не зависящие от времени) процессы, например стационарное температурное поле, потенциальное течение жидкости т. п.
Как и любые дифференциальные уравнения, приведенные уравнения имеют бесконечное множество решений, которые отличаются произвольными функциями (решения обыкновенных дифференциальных уравнений различаются значениями констант). Поэтому для получения единственного решения задают дополнительные условия, которые принято называть условиями однозначности. Они могут содержать в себе информацию о геометрических и физических свойствах исследуемого объекта, его исходном состоянии, о характеристиках воздействия на него объектов внешней среды и т. п.
Задание условий однозначности позволяет выделить конкретный рассматриваемый объект, конкретный процесс из общей группы подобных объектов и процессов. Например, распространение теплоты в заготовке при ее обработке точением, шлифованием или при сварке и других видах обработки, сопровождающихся передачей тепловой энергии, будет описываться одним и тем же уравнением теплопроводности. Однако является очевидным, что при шлифовании или при сварке температура и ее изменение в одних и тех же точках заготовки будет разной и зависеть от многих причин, в частности, какой источник теплоты воздействует на заготовку, какая была температура в точках заготовки до начала обработки и других факторов.
В условиях однозначности выделяют начальные и граничные условия. Начальные условия отражают состояние объекта, процесса или явления на исходный (начальный) момент времени наблюдения t 0 в виде значения искомого решения во всех точках x, y рассматриваемой области объекта, например
или 
, (13)
где θ(x, y, t 0) – температура в точке x, y рассматриваемой области объекта в момент времени t 0. Обычно принимают t 0 = 0; f (x, y) – известная функция.
В отдельных задачах начальные условия могут содержать в себе также значения производных искомого решения по времени, например, скорость изменения температуры в момент времени t 0 или скорость перемещения рассматриваемого тела в точке x, y.
Граничные условия отражают взаимодействие исследуемого объекта с объектами внешней среды, которое имеет место на ограничивающих его поверхностях. С физической точки зрения это взаимодействие может быть выражено в виде приложения к той или иной части поверхности исследуемого объекта внешней нагрузки (сосредоточенных или распределенных сил), подведения или отводе теплоты и т. п.
Математически вид или признак взаимодействия описывается в форме констант, функциональных зависимостей и т. д., определяющих значения искомого решения на граничных поверхностях объекта, а также нормальных к граничным поверхностям производных искомого решения.
Условия однозначности совместно с дифференциальным уравнением позволяют математически полностью и однозначно отразить конкретный рассматриваемый процесс или явление.
В зависимости от того, какие условия однозначности заданы в математической постановке задачи выделяют три типа задач.
Задача первого типа – это задача Коши, в которой дифференциальное уравнение дополнено только начальными условиями, задающими состояние объекта, процесса или явления на исходный (начальный) момент времени наблюдения. Граничные условия в задаче Коши отсутствуют. Отсутствие граничных условий определено тем, что рассматривается либо неограниченное пространство, либо весьма малый начальный промежуток времени t, при котором влияние границ еще пренебрежимо мало.
Задача Коши формулируется при решении дифференциальных уравнений гиперболического и параболического видов.
Задача второго типа – это задача, в которой нет начальных условий, а заданы только граничные условия. Это условия, в свою очередь, подразделяются обычно на три вида (рода).
Граничным условием первого рода является условие, при котором в точках x, y на границе Г рассматриваемой области искомая функция u (x, y) принимает заданные значения, например
.
Граничным условием второго рода является условие, при котором в точках x, y рассматриваемой области производная по нормали n к граничной поверхности Г (нормальная производная) искомой функции u (x, y) принимает заданные значения, например
.
Граничным условием третьего рода является условие, при котором в точках x, y на границе Г рассматриваемой области задана линейная комбинация искомой функции и ее нормальной производной. Например, при решении задачи определения температурного поля в твердом теле это условие может иметь вид
,
где θ(x, y) – температура в точке x, y на границе Г поверхности рассматриваемого твердого тела; λ – коэффициент теплопроводности материала тела;
α – коэффициент теплоотдачи от поверхности тела; θо – температура окружающей среды.
В теплофизике технологических процессов механической обработки деталей часто используются граничные условия четвертого рода. Эти условия возникают тогда, когда рассматриваемое твердое тело находится в беззазорном контакте с другим твердым телом и между ними происходит теплообмен. При граничных условиях четвертого рода, когда контакт между телами идеален, температура в любой точке поверхности соприкосновения как со стороны одного, так ИСО стороны другого тела одна и та же, т. е.
.
Задачи второго типа имеют место тогда, когда состояние объекта исследования рассматривается в моменты времени, достаточно удаленных от начального момента и влиянием начальных условий можно пренебречь. В этих случаях процесс, протекающий в объекте, считается установившимся, стационарным. Постановка задач этого типа может содержать дифференциальное уравнение любого типа.
Задача третьего типа – это так называемая смешанная задача, в которой задаются и начальные и граничные условия. Смешанная задача формулируется для гиперболических и параболических типов уравнений.