НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ.

План лекции

1. Непрерывность функций.

2. Непрерывность элементарных функций в области определения.

3. Точки разрыва и их классификация.

4. Первый замечательный предел.

Элементарная функция — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

1. алгебраические:

· степенная;

· рациональная.

2. трансцендентные:

· показательная и логарифмическая;

· тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

- непрерывность

Первый «замечательный» предел:

Доказательство*:

;

поэтому достаточно рассмотреть случай . Имеем:

;

Правило о «двух милиционерах»: Если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти.

т.е.

Разрывы функций. Графики

1. Разрыв (устраненный)

2. Разрыв первого рода А

пример: В

Разрывы второго порядка –

все остальные разрывы

пример:

график

Примеры вычисления пределов:

Несколько важных пределов для запоминания:

Контрольные вопросы:

1. Что такое элементарная функция?

2. Какие виды элементарных функций вы знаете?

3. Первый замечательный предел. Доказательство

4. Дать классификацию точек разрыва функции. Привести примеры.

ЛЕКЦИЯ 3:

ОСНОВНЫЕ ТИПЫНЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

План лекции

1. Основные типы неопределенностей и их раскрытие.

2. Второй замечательный предел.

· Раскрытие неопределенностей

Методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь 0 - бесконечно малая величина, а - бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.