Понятие дифф. Уравнения.
Уравнение в котором в качестве неиз-й величины выступает та или иная ф-я наз-я функциональным уравнением. Пример: f(x1)f(x2)=f(x1+x2)
Дифф уравнением наз-я уравнение относительно неизвестной функции ее производных различных порядков и независимых переменных. Пример: y*y’’’+sinx=0 y=y(x)
Если в дифф уравнении в качестве неиз-й ф-и выступает ф-я одной переменной то такие уравнения наз-я обыкновенными дифф ур-и, если же в качестве переменных выст-т ф-я нескольких переменных то такие ур-я наз-я дифф ур-и в частных производных. Порядком дифф уравнения наз-я наивысший из порядков производных входящих в данное дифф уравнение. Ф-я y=y(x) наз-я решением дифф уравнения F(x,y,y’,y’’,…,y(n))=0 (*) на некотором числовом промежутке если вып-я след-е условия: 1)y=y(x) n раз дифф на промежутке дельта 2)будучи подставленной в ур-е (*) ф-я y=y(x) обращает его в верное равенство на дельта. Процесс отыскания решений дифф уравнений наз-я интегрирование дифф уравнения, а графики решений дифф ур-я нгаз-я интегральными кривыми
Дифф уравнение первого порядка. Задача Коши и теорема Коши
Рассмотрим дифф ур-е первого порядка F(x,y,y’)=0 (1) Если ур-е (1) можно выразить y’, y’=f(x,y) (2) то в этом случае ур-е (2) наз-я разрешенным относительно производной.
dy/dx=f(x,y) (2’)
y=фи(х) определенная на ∆ из R наз-я решением дифф ур-я (2) на ∆ если вып-я условия
1)(х,фи(х)) принадлежать D(f)
2)y=фи(х) дифф на ∆
3)х принадлежит ∆ фи(х)=f(x,фт(х))
Теорема Коши
Пусть для дифф ур-я (2) вып-я след-е условия функции f(x,y) и f’y(x,y) непрерывны в некоторой области G из R^2 тогда какова бы ни была внытр-я точка (x0,y0) G в некоторой окр-и (x0-h;x0+h) сущ-т и при том ед-е решение ур (2) y=фи(х) уд-е начальному условию
Теорема Коши имеет локальный характер, т.е. она указывает на сущ-е и ед-ь решения в достаточной малой окрестности точки
Теорема Коши дает достаточное условие сущ-я единственности решения
Понятие общего,частного и особого решения дифф ур-я первого порядка
Рассмотрим дифф ур-е первого порядка резоешенное относительно производной y’=F(x,y) (1) где f(x,y) определены на G из R^2 и пусть в этой области вып-я условия теоремы Коши. Ф-я y=фи(x,c) зависящая от переменной X b произвольной постоянной С наз-я общим решением дифф ур-я (1) области G если вып-я след-е условия: 1)при любом допустимом значении пр пост С ф-я y=фи(x,c) уд-т ур-ю (1) т.е. фи’(x,c)=(x,фи(x,c))) для всех x из Е 2)для любой внутренней точки M0(x0,y0) из G найдется такое значение пр пост С=С0 что ф-я y=фи(x,c0) будет уд-ь начальному условия y(при х=х0)=у0. Вякая ф-я видя у=фи(х,с0) полученная из общего решения дифф ур-я видя (1) при конкретном значении пр пост при С=С0 наз-я частным решением дифф ур-я (1). Решение дифф уравнения (1) наз-я особым, если через любую точку изображающей ее интегральной кривой проходит по крайней мере еще одна инт-я кривая того же ур-я. Особым решением дифф ур-я наз-я такое решение в каждой точку которого нарушается единственное решение задачи Коши.
4)Геометрическое истолкование дифф уравнения первого порядка. Метод изоклин
Пусть дано y’=f(x,y) f(x,y) определена и непрерывна в некоторой области G и пусть у=у(х) инт-я кривая данного уравнения проходящая через некоторую М(хбу) из G
Дифф ур-е первого порядка с разделяющимися переменными
Рассмотрим дифф ур-е вида dy/dx=f(x,y) (2). Будем говорить что дифф ур-е (2) разрешимо в квадратах, если его общее решение может быть получено с помощью одной или нескольких квадратур. Отметим что не всякое дифф ур-е (2) разрешимо в квадратах.
Дифф ур-м первого порядка с разделяющимися переменными наз-я ур-е вида dy/dx=f1(x)f2(x) (3) где f1(x) – дифф ур-е одной переменной х опр и непр на (а,b); f2(y) – ф-я у опр и непр на (c,d). Для решения дифф ур-я вида (3) допустим что f2(y) не равно 0 (*) и разделим обе части ур-я (3) на f2(y) и умножим на dx, получим dy/f2(y)=f1(x)dx (4).
Ур-е (4) – дифф ур-е с разделенными переменными. У=у(х) – решение ур-я (4) тогда имеет место равенство dy(x)/f2y(x)=f1(x)dx. Проинтегрируем обе части последнего равенства, получим: интеграл dy/f2(y)=интеграл f1(x)dx+C где С-пр пост (5)
(5) – решение дифф ур-я (4) => (3). Таким образом ур-е (3) разрешимо в квадратах.
Линейные дифф ур-я первого порядка. Теорема Коши
Линейным дифф ур-м первого полрядка наз-я ур-е вида A(x)y’+B(x)y+C(x)=0 (1). A(x),B(x),C(x) – заданные ф-и опр на промежутке (a,b)
Пусть A(x) не равно 0, разделим обе части ур-я (1) на А(х) получим ур-е след-о вида: y’+p(x)y=q(x) (2), где p(x)= B(x)/A(x), q(x)= -C(x)/A(x) (2). Ур-е (2) принято наз-ь лин-м дифф ур-м первого порядка нормального вида. В ур-и (2) ф-я р(х) – коэф-т ур-я, q(x) – свободный член. Если в ур-и (2) q(x) =0 то ур-е (2) наз-т линейным однородным дифф ур-м первого порядка, в противном случае линейное неоднородное дифф ур первого порядка.
Уравнение Бернулли
Дифф ур-е вида dy/dx+p(x)y=q(x)y^m (m не равно 0 и1) (4), p(x), q(x) заданные и непрерывные на некотором пром-е ф-и, m – некоторое действительное число наз-я уравнением Бернулли.
Разделим обе части ур-я (4) на y^m
Y^(-m)*dy/dx+p(x)*y^(10m)=q(x)
Введем в рассмотрение новую неизвестную ф-ю z=y^(1-m) (5)
Заметим что произ-я ф-и z имеет вид z’=(1-m)Y^(-m)y’
y(-m)y’=1/1-m*z’
Получим
1/1-m*z’+p(x)z=q(x)
Z’+(1-m)p(x)z=(1=m)q(x) (6)
Заметим что ур-е (6) представляет собой линейное дифф ур-е первого порядка относительно ф-и z=z(x). Выполним щамену (5) получим общий интеграл ур-я (4). Замечание: 1)ур-е Бернулли имеет при m>0 еще одно решение y=0 при m<1 y=0 явл-я особым решением ур-я (4) 2)при решении ур-я Бернулли нет необходимости пользоваться готовой формулой общего решения, проще восп-я замекной (5) и свести его е линейному ур-ю
Y=1/2+x=Ce^x C – пр пост
Уравнение в полных дифференциалах
Всякое дифф ур вида dy/dx=F(x,y) можно зарисать в след-й форме M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (1). Форма записи (1) наз-я симметричной отн-о (х,у) дифф формой. Дифф ур-е вида (1) наз-я ур-м в полных дифф-х если сущ-т хотя бы одна ф-я от двух переменных U(x,y) такая что ее полный дифф-л dU(x) совпадает с левой частью уравнения (1) в некотрой области D из R^2
Если ур-е (1) представляет собой ур-е в полных дифф-х то его нужно переписать в виде dU(x,y)=0 тогда общий интеграл ур-я (1) имеет вид: U(x,y)=c C –пр пост
Справедлива след-я теорема
Для того чтобы дифф ур (1) было ур-м в полных дифф-х в некоторой области D необходимо и достаточно чтобы вып-ь равенство dU(x,y)/dy=dU(x,y)/dx
Замечание: ур-е (1) не всегда представляет собой ур-е в полных дифф (dM/dy не равно dN/dx). Однако в некоторых случаях это ур-е удается свести в ур-е в полных дифф-х.
Ф-я мю(x,y) наз-я инт-м множителем для ур-я (1) если ур-е мю(х,у)M(x,y)dx+мю(х,у)N(x,y)dx=0 явл-я ур-м в полных дифф-х в области D.
Пусть дано ур-е (1) если dM/dy-dN/dx:N(x,Y) = Ф(х) (Ф(х) – ф-я х) то сущ-т инт-й множитель мю(х,у) причем мю(х,у)=е^SФ(х)dx. Если dN/dx-dM/dy:M(x,y) = Ψ(y) то мю(х,у)=е^SΨ(y)dy