Функция f (x) называется четной, если для любого x ∈ D
выполняется равенство: f (− x)= f (x).
Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями:
·Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.
·Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
·Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
·Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/ f четна (нечетна).
Пример 2.
Может ли при каком-нибудь значении а уравнение: 2 x 8−3 ax 6+4 x 4− ax 2=5 иметь 5 корней?
Решение.
Обозначим f (x)=2 x 8−3 ax 6+4 x 4− ax 2=5, где f(x) – четная функция. Если х0 – корень данного уравнения, то (-х0) – тоже корень. Значение х=0 не является корнем уравнения. Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.
Использование области определения функции
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых
значений функции. Для нахождения функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.). Иногда знание позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел.
Пример 3
Решите неравенство 
+ 
Решение.
ОДЗ неравенства есть все x из промежутка −3⩽ x ⩽9.
Разобьем это множество на два промежутка −3⩽ x ⩽0 и 0⩽ x ⩽9.
Для х из промежутка −3⩽ x ⩽0 имеем:
⩾0; 
⩾ 
Следовательно, + на этом промежутке, поэтому неравенство не имеет решений на этом промежутке.
Пусть х принадлежит 0⩽ x ⩽9, тогда:
⩾ 
; 
⩾0.
Следовательно, 
+ для таких x, и, значит, на этом промежутке неравенство также не имеет решений.
Итак, неравенство решений не имеет.
Использование ограниченности функции. При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.
Если существует такое число С, что для любого x ∈ D выполняется неравенство f(x)⩽C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D.
Если существует такое число с, что для любого выполняется неравенство f(x) ≥с, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D.
Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y=f(x) при лежит в полосе с⩽f(x)⩽C.
Пример 4
Решите уравнение sin(x 3+2 x 2+1)= x 2+2 x +2
Решение.
Для любого действительного числа х имеем sin(x 3+2 x 2+1)⩽1, x 2+2 x +2=(x +1)2+1⩾1.
Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при х=-1.
При х=-1 имеем: х2+2 x +2=1; sin(−1+2+1)=sin2≠1;
т.е. уравнение корней не имеет.
Пример 5 Решите неравенство:
.
Решение: при решении используем анализ ОДЗ неравенства.
ОДЗ: 
.
х=1 не является решением. Тогда при 
получим, что 
, а 
. Значит решением данного неравенства являются все числа из промежутка .
Ответ:
Домашнее задание:
1.Решить неравенство: x 2 - 2 x - 3 ³ 0;
2. Решите уравнение cos(x 3+2 x 2+1)= x 2+2 x +2