Уравнение теплового баланса

Тела, участвующие в теплообмене, представляют собой термодинамическую систему. Термодинамическая система называется теплоизолированной, если она не получает энергию извне и не отдаёт её; теплообмен происходит только между телами, входящими в эту систему. Для любой теплоизолированной системы тел справедливо следующее утверждение: количество теплоты, отданное одними телами, равно количеству теплоты, принимаемому другими телами.

Q_{отд .} = Q_{получ .}⁽⁵⁾

Это утверждение описывает частный случай закона сохранения и превращения энергии в применении к процессу теплообмена. А формула (5) является одним из видов уравнения теплового баланса.

При решении задач с помощью данного вида уравнения теплового баланса в формуле (1) в качестве t₂ следует брать большую температуру, а в качестве t₁ – меньшую. Тогда разность (t₂ – t₁) будет положительна и всё произведение cm(t₂–t₁) также будет положительным. Все теплоты, отданные и полученные, будут положительными.

 

 

Уравнение теплового баланса можно записать и в таком виде:

 

Q₁+ Q₂+…+ Q_n= 0,⁽⁶⁾

Где n – количество тел системы.

Алгебраическая сумма всех количеств теплоты (поглощенных и выделенных) в теплоизолированной системе равна нулю.

Q₁, Q₂, …, Q_n – это теплоты, поглощаемые или выделяемые участниками теплообмена. Очевидно, что в этом случае какие-то теплоты должны быть положительны, а какие-то – отрицательны. При записи уравнения теплового баланса в виде (6) всегда t₂ – конечная температура, а t₁ – начальная.

Если тело нагревается, то разность (t₂ – t₁) положительна и все произведение cm(t₂ – t₁) положительно. То есть Q > 0 тогда, когда теплота к данному телу подводится.

А если t₂ < t₁ (тело остывает), то разность (t₂ – t₁) отрицательна, то есть Q < 0. В этом случае тело энергию выделяет.

Если при фазовом переходе энергия к телу подводится (плавление, кипение), то Q > 0; если тело выделяет энергию (кристаллизация, конденсация), то Q < 0.

В принципе уравнения (5) и (6) равносильны. Результат решения задачи не зависит от того, каким видом уравнения пользуемся. Выбор способа решения – за читателем.

 

Применим уравнение теплового баланса для решения ряда задач.

Задача 1

В медном калориметре массой 100 г находится 1 кг воды при температуре 20°С. В воду опускают свинцовую деталь массой 2 кг, имеющую температуру 90°С. До какой температуры нагреется вода? Потерями теплоты пренебречь.*

Решение

m1 = 0,1 кг с1= 380 Дж/(кг×0С) t2 = 20°С m2 = 1 кг с2=4200 Дж/(кг×0С) m3 = 2 кг с3= 140 Дж/(кг×0С) t3 = 90°С q –?	Проведём анализ: Вода и калориметр находились в тепловом равновесии, поэтому они имели одинаковую температуру: t1 = t2 = 20°С. При опускании в воду с температурой 20°С свинцового тела с температурой 90°С между водой и свинцом будет происходить теплообмен. Свинец будет остывать, а вода - нагреваться. В этом же процессе участвует и калориметр, который, как и вода, будет тоже нагреваться.
	Изменение температур тел с течением времени удобно изображать на графике зависимости t(t). Отрезок АВ соответствует графику изменения температуры свинцового тела. Стрелка, идущая от него, показывает, что, остывая, свинец выделяет энергию Q3.
	Два параллельных отрезка СВ соответствуют графикам изменения температур калориметра и воды. Стрелки, идущие к ним, показывают, что для нагревания калориметра и воды требуется энергия Q1 и Q2, которую они поглощают.
	Решим задачу с использованием уравнения теплового баланса в виде (5): Q1 + Q2 = Q3, c1m1(q - t1) + c2m2(q - t2) = c3m3(t3 - q). Выражаем температуру q: q =

Решим задачу с использованием уравнения теплового баланса в виде (6):

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0,

c₁m₁(q - t₁) + c₂m₂(q - t₂) + c₃m₃(q - t₃) = 0.

q = = 24 (°С)

Ответ: Вода нагреется до 24 °С.

 

Предлагаю читателю самостоятельно сделать проверку размерности.

 

Задача 2

Три пластины: медную, имеющую массу m₁ = 1 кг и температуру t₁ = 100°С, железную (m₂ = 1,2 кг, t₂ = 150°С) и алюминиевую (m₃ = 0,8 кг, t₃ = 80°С) сложили вплотную (см рис). Какую температуру будут иметь пластины, когда теплообмен прекратится? Потерями теплоты в окружающую среду пренебречь.

m1 = 1 кг с1= 380 Дж/(кг×0С) t1 = 100°С m2 = 1,2 кг с2= 460 Дж/(кг×0С) t2 = 150°С m3 = 0,8 кг с3= 920 Дж/(кг×0С) t3 = 80°С

Решение Решим задачу с помощью уравнения теплового баланса в виде (5). 1. Не трудно догадаться, что в результате теплообмена самая горячая пластина остынет, а самая холодная - нагреется. Итак, мы знаем, что будет происходить с железной и алюминиевой пластинами: железная будет остывать, алюминиевая – нагреваться. Мысленно соединим сначала эти две пластины и найдём температуру t, которой они при этом достигнут: Q2 = Q3 Þ c2m2(t2 - t) = c3m3(t - t3) t =

q -?

 

t =

2. Теперь медная пластина вступает в теплообмен с железной и алюминиевой. Медная будет нагреваться от температуры t₁ до температуры q, а железная и алюминиевая – остывать от температуры t до температуры q. Тогда:

Q₁ = Q₂'+ Q₃'_,

c₁m₁(q - t₁) = (c₂m₂ + c₃m₃)(t - q),

c₁m₁q – c₁m₁t₁ = (c₂m₂ + c₃m₃)t – (c₂m₂ + c₃m₃)q

q =

3. Решим задачу, применив уравнение теплового баланса в виде (6):

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0,

c₁m₁(q - t₁) + c₂m₂(q – t₂) + c₃m₃(q - t₃) = 0,

q = = 108 (°С)

Ответ: Пластины будут иметь температуру 108 °С.

 

Как видим, второй способ оказался и в данном случае более рациональным. Однако, первый способ зачастую оказывается более понятным, особенно при наличии фазовых переходов. Поэтому в дальнейшем автор будет придерживаться первого способа решения задач. Желательно, чтобы читатель пробовал решать их и вторым способом.

 

Задача 3

В железном ведре массой 1,2 кг находится 5 кг воды при температуре 20°С. Сколько льда температурой – 10°С надо положить в ведро, чтобы температура воды понизилась до 12°С? Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

 

m1 = 1,2 кг с1=460 Дж/(кг×0С) m2 = 5 кг с2=4200 Дж/(кг×0С) t1 = t2 = 20°С t3 = -10°С с3=2100 Дж/(кг×0С) t4 = 0оС q = 12°С

Решение Известна конечная температура, Значит, анализ ситуации довольно прост: вода и ведро будут остывать, не испытывая фазовых переходов, отдавая теплоты Q1 и Q2, а лёд сначала будет нагреваться до температуры плавления t4, поглощая теплоту Q3, затем плавиться, поглощая теплоту Q4, а затем вода, образовавшаяся из льда, будет нагреваться до конечной температуры q, поглощая теплоту Q5. Так как иных участников теплообмена нет, то можно так записать уравнение теплового баланса: Q1 + Q2 = Q3 + Q4 + Q5. (c1m1 + c2m2)(t1 - q) = = c3m3(t4 - t3) + lm3 + c2m3(q - t4)

m3 –?

 

Ответ: Потребуется 0,4 кг льда.

Задача 4

В алюминиевую кастрюлю массой 200 г, содержащую 3 кг воды при 20°С, поместили стальную деталь массой 0,5 кг, нагретую до 500°С. При этом часть воды выкипела, а оставшаяся вода нагрелась до 22°С. Сколько воды выкипело?

m1 = 3 кг с1=4200Дж/(кг°С) m2 = 0,2 кг с2 =920 Дж/(кг°С) t1 = t2 = 20°С q = 22°С m3 = 0,5 кг с3 = 460 Дж/(кг0С) t3 = 500°С L = 2,3×106 Дж/кг	Решение 1. Стальная деталь, не претерпевая фазовых переходов, остыла от 500°С до 22°С, выделив при этом количество теплоты Q3 = c3m3(t3 - q).   2. Часть воды массой m0 нагрелась до температуры кипения (100оС) и выкипела. При этом была поглощена теплота Q1 = c1m0(100 - t1) + Lm0. 3. Оставшаяся в кастрюле вода массой (m1 - m0) и сама кастрюля массой m2 нагрелись от 200С до 22°С. При этом была поглощена теплота Q2 = c1(m1 - m0)(q - t1) + c2m2(q - t1).
m0 –?
4. Так как потерь тепла нет, то записываем уравнение теплового баланса: Q1 + Q2 = Q3, c1m0(100 - t1) + Lm0 + c1(m1 - m0)(q - t1) + + c2m2(q - t2) = c3m3(t3 - q). 5. Решая это уравнение, находим m0: m0 = , m0 =

Ответ: Выкипело 32 г воды.

 

Задача 5

Комок мокрого снега массой 400 г опустили в медный таз массой 500 г, содержащий 2 кг воды при температуре 20°С. После установления теплового равновесия температура воды в тазу стала 10°С. Сколько воды было в комке снега?

m3 = 0,4 кг l = 3,4×105 Дж/кг t1 = t2 = 20°С t3 = 0°С m1 = 0,5 кг с1 = 380 Дж/(кг×0С) m2 = 2 кг с2=4200Дж/(кг×0С) q = 10°С	Решение 1. Медный таз и вода находятся в тепловом равновесии. Поэтому 20°С – их общая температура. При остывании от 20°С до 10°С ни медь, ни вода фазовых превращений не испытывают. При этом они отдают суммарную теплоту: Q1 + Q2 = c1m1(t1 - q) + c2m2(t2 - q). 2. Мокрый снег – это снег, содержащий воду. Значит, снег и вода находятся в тепловом равновесии. Это возможно только при температуре фазового перехода, то есть при 0°С.
mв –?
Итак, начальная температура мокрого снега 0°С. 3. На пути к температуре 10°С снег массой m3-mв будет сначала таять. Для этого требуется теплота Q3 = l(m3 - mв). А затем вся вода массой m3 будет нагреваться от 0°С до 10°С. Для этого ей надо получить количество теплоты Q4 = c2m3(q - t3). 4. Так как нет потерь тепла, то можно написать уравнение теплового баланса: Q1 + Q2 = Q3 + Q4, с1m1(t1 - q) + c2m2(t2 - q) = l(m3 - mв) + c2m2(q - t3). 5. Решая это уравнение, находим mв: mв = mв = Ответ:В комке мокрого снега было 0,2 кг воды.

Задача 6

В холодную воду массой 2 кг, имеющую температуру 10°С, находящуюся в кастрюле, влили 3 кг горячей воды при температуре 80°С. До какой температуры нагреется холодная вода, если известно, что 25% теплоты, отданной горячей водой, пошло на нагревание кастрюли? Какова теплоемкость кастрюли?

 

M1 = 2 кг t1 = 10°С m2 = 3 кг t2 = 80°С h1=0,25 (25%)

Решение Так как 25% теплоты отданы кастрюле, то 75% теплоты пошло на нагревание холодной воды. Значит, можно говорить о КПД процесса нагревания холодной воды: h2 = (h2 = 0,75) Здесь Qполез - теплота, идущая на нагревание холодной воды: Qполез = c1m1(q - t1); Qзатр - теплота, отданная горячей водой: Qзатр = c2m2(t2 - q). Удельные теплоты с1 холодной и с2 горячей воды равны. h2 = Þ h2m2(t2 - q) = m1(q - t2), h2m2t2 - h2m2q = m1q - m1t1,

q -? С -?

 

q =

q =

Так как 25% теплоты, отданной горячей водой, пошло на нагревание кастрюли, то можно говорить и о КПД процесса нагревания кастрюли:

,

откуда:

 

Ответ: Холодная вода нагреется до температуры 47°С. Теплоемкость кастрюли 2809 Дж/⁰С.

Задача 7

Сколько керосина нужно сжечь, чтобы превратить в пар 1 кг льда, взятого при температуре - 40°С? КПД нагревательного устройства равен 60%, удельная теплота сгорания керосина 46 МДж/кг.

m1 = 1 кг t1 = -40°С с1 =2100Дж/(кг×0С) l = 3,4×105 Дж/кг с2 =4200Дж/(кг×0С) L = 2,3×106 Дж/кг h = 0,6 (60%) q = 46×106 Дж/кг

Решение 1. Изобразим на графике t(t) процессы: нагревание льда, плавление льда, нагревание получившейся из льда воды, кипение этой воды. Для осуществления каждого из этих процессов необходим подвод теплоты. Теплоту выделяет керосин в процессе сгорания (на графике не показано). 2. Применим формулу КПД нагревателя: h = . Здесь Qполез = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 =   = m1[c1(0 - t1) + l + c2(100 - 0) + L],   а Qзатр = qm2.   Получаем: h = , откуда: m2 = . m2 = = 114 г

m2 -?

Ответ: Нужно сжечь 114 г керосина.

 

Задача 8

Сколько водяного пара, имеющего температуру 120°С, надо впустить в калориметр, содержащий 800 г льда при температуре -20°С, чтобы температура образовавшейся воды оказалась 20°С? Теплоёмкостью калориметра пренебречь.

 

m1 = 0,8 кг t1 = -20°С с1 = с2 = 2100 Дж/(кг×0С) t2 = 120°С с3 =4200Дж/(кг×0С) q = 20°С

Решение 1. Так как теплоемкостью калориметра можно пренебречь, то систему лед - пар можно считать теплоизолированной: теплообмен происходит только между паром и льдом. 2. Получают теплоту тела: - лёд, нагреваясь от –200С до температуры плавления: Q1 = c1m1(0 - t1); - лёд, превращаясь в воду при температуре плавления: Q2 = lm1; - вода, образовавшаяся из льда, нагреваясь от 0°С до 20°С: Q3 = с3m1(q - 0). 3. Отдают теплоту тела: - пар, остывая от 120°С до температуры конденсации: Q4 = c2m2(t2 - 100); - пар, превращаясь в воду при 100°С: Q5 = Lm2; - вода, образовавшаяся из пара, остывая от 100°С до 20°С: Q6 = c3m2(100 - q). 4. Других участников теплообмена нет, поэтому записываем уравнение теплового баланса: Q1 + Q2 + Q3 = Q4 + Q5 + Q6, c1m1(0 – t1) + lm1 + c3m1(q - 0) = c2m2(t2 - 100) + + Lm2 + c3m2(100 - q),

m2-?

 

Ответ: Потребуется 140 г водяного пара.

Часто при решении задач можно встретиться со следующей проблемой. В теплообмене участвуют вещества, находящиеся в различных агрегатных состояниях, и конечная температура теплообмена не известна. Тогда уравнение теплового баланса сразу написать не удастся, так как его вид зависит от того, в каких агрегатных состояниях будут находиться конечные продукты. В этом случае последовательность решения задачи немного изменяется. Сначала нужно сделать предварительные расчеты: сколько теплоты выделит или поглотит каждое вещество в предполагаемом процессе, сравнить эти теплоты и сделать вывод о том, в каких агрегатных состояниях будут находиться продукты теплообмена. И только после этого можно записывать уравнение теплового баланса. Такие задачи значительно сложнее задач, в которых конечная температура известна. Рассмотрим ряд таких задач.

 

Задача 9

В калориметр, содержащий воду массой 0,5 кг при температуре 25°С, впускают водяной пар массой 50 г при температуре 120°С. Какая температура установится в калориметре, если его теплоёмкость 1200 Дж/^оС?

m1 = 0,5 кг с1 =4200 Дж/(кг×0С) t1 = 25°С m2 = 0,05 кг t2 = 120°С c2=2100 Дж/(кг×0С) С = 1200 Дж/0С L = 2,3×106 Дж/кг	Решение 1. Если в конечном итоге весь пар остынет от 120°С до 100°С, затем сконденсируется в воду, затем образовавшаяся из пара вода остынет от 100°С до q, то в калориметре будет находиться вода при температуре q, а уравнение теплового баланса примет вид: .
q-?
	2. Если пар остынет от 120°С до 100°С, а сконденсируется не весь, то в калориметре будет находиться смесь воды и пара при температуре 100°С, а уравнение теплового баланса будет таким: Здесь m¢- масса сконденсировавшегося пара.
	3. Пар может остыть от 120°С до 100°С, а вода и калориметр уже нагреются до 100°С, и при этом часть воды даже выкипит. В калориметре будет смесь пара и воды при температуре 100°С. Уравнение теплового баланса будет иметь вид: , где m¢¢- масса превратившейся в пар воды.
Каким из трёх уравнений пользоваться? Cделаем предварительные расчёты. Вычислим: а) сколько теплоты нужно для того, чтобы нагреть воду и калориметр от 25°С до 100°С: Q1 = c1m1(100 - t1) + C(100 - t1) = 4200×0,5×75+1200×75 = 247500 (Дж). б) сколько теплоты выделится, если весь пар остынет от 120°С до 100°С: Q2 = c2m2(t2 - 100) =2100×0,05×20 = 2100 (Дж). в) сколько теплоты выделится, если весь пар сконденсируется в воду при температуре 100°С: Q3 = Lm2 = 2300000×0,05 = 115000 (Дж).

 

Выделяющаяся теплота Q₂ + Q₃ = 2100 Дж + 115000 Дж = 117100 Дж при охлаждении пара и его конденсации меньше теплоты, которая требуется для нагревания «холодной» воды и калориметра. Значит, чтобы вода вместе с калориметром смогла нагреться до 100°С, ей нужно больше энергии, чем может отдать пар, остывая и конденсируясь. Поэтому 117100 Дж пар отдаст, став при этом «горячей» водой при 100°С, а «холодная» вода при этом до 100°С ещё не нагреется. Тогда в калориметре будут одновременно находиться сконденсировавшаяся из пара вода при 100°С и подогретая «холодная» вода. В результате дальнейшего теплообмена «горячая» вода остынет, а «холодная» нагреется. И в итоге в калориметре будет вода, температура которой ниже 100⁰С, но выше 25⁰С.

Уравнение теплового баланса будет иметь вид (1):

c₁m₁(q - t₁) + C(q - t₁) = c₂m₂(t₂ - 100) + Lm₂ + c₁m₂(100 - q), откуда

c₁m₁q - c₁m₁t₁ + Сq - Сt₁ = 117100 + c₁m₂×100 - c₁m₂q.

Ответ: В калориметре установится температура 63°С.

Задача 10

В калориметре находится вода массой 0,8 кг при температуре 20°С. В воду опустили 2 кг льда при температуре -30°С. Что будет в калориметре после того, как теплообмен прекратится? Теплоёмкостью калориметра пренебречь.

1) Весь лёд нагреется до температуры 0°С, весь расплавится и образуется из льда вода, которая нагреется с 0°С до температуры q:

Уравнение теплового баланса:

c₁m₁(t₁-q)=c₂m₂(0-t₂)+lm₂+c₁m²¢(q-0)

Тогда в калориметре будет вода при температуре q.

m1 = 0,8 кг с1=4200 Дж/(кг×0С) t1 = 20°С m2 = 2 кг t2 = -30°С c2=2100 Дж/(кг×0С) l = 3,4×105 Дж/кг

Решение Рассмотрим варианты решения: 1. Вода остынет от 20°С до 0°С, затем эта вода замёрзнет и станет льдом при температуре 0°С, затем лёд, образовавшийся из воды, остынет до температуры q (см. график). А опущенный в воду лёд только нагреется от температуры -30°С до температуры q. В калориметре будет находиться лёд при температуре q. Уравнение теплового баланса запишется так: c1m1(t1 - 0) + lm1 + c2m1(0 - q) = c2m2(q - t2).

q, mв, mл –?

2. Вода остынет от 20°С до 0°С, часть её замёрзнет и станет льдом при 0°С, остальная – останется водой при 0°С. Лёд при этом нагреется от -30°С до 0°С (см. график). И тогда в калориметре будет находиться смесь воды со льдом при температуре 0°С. Уравнение теплового баланса запишется так:

c₁m₁(t₁ - 0) + lm¢ = c₂m₂(q - t₂), где m¢ - масса превратившейся в лед воды.

 

3. Вода остынет от 20°С до 0°С. Лёд при этом нагреется от -30°С до 0°С, затем частично или полностью расплавится и станет водой при 0°С. В калориметре будет смесь воды и льда при температуре 0°С. Уравнение теплового баланса запишется так:

c₁m₁(t₁ - 0) = c₂m₂(0 - t₂) + lm², где m² - масса превратившегося в воду льда.

 

4. Лёд нагреется от -30°С до 0°С, расплавится, и образовавшаяся из льда вода нагреется от 0°С до температуры q. А вода массой m₁ при этом остынет от 20°С до температуры q. Тогда в калориметре будет находиться вода при температуре q. Уравнение теплового баланса запишется так:

c₁m₁(t₁ - q) = c₂m₂(0 - t₂) + lm₂ + c₁m₂(q - 0).

 

Проведем численный анализ ситуации. Сколько теплоты:

а) выделит вода при остывании от 20°С до 0°С:

Q₁ = c₁m₁(t₁ - 0) = 4200×0,8×20 = 67200 (Дж);

б) выделит вода при превращении в лед при 0°С:

Q₂ = lm₁ = 340000×0,8 = 272000 (Дж);

в) нужно получить льду, чтобы нагреться от -30°С до 0°С:

Q₃ = c₂m₂(0 - t₂) = 2100×2×30 = 126000 (Дж);

г) нужно получить льду, чтобы полностью расплавиться при температуре 0°С:

Q₄ = lm₂ = 340000×2 = 680000 (Дж).

 

Получаем: чтобы весь лёд нагрелся от -30°С до 0°С, ему нужно передать 126000 Дж теплоты, а вода при этом, остывая от 20°С до 0°С, может дать только 67200 Дж. Значит, лёд эти 67200 Дж у воды «возьмет», но ему ещё не будет хватать Q¢ = 126000 Дж - 67200 Дж = 58800 Дж, чтобы нагреться до 0°С. Он их «возьмёт» у превращающейся в лед воды (если бы вода полностью превратилась в лед, то она бы выделила 272000 Дж, а это больше, чем «нужно» льду):

Q¢ = lm¢ Þ m¢ = Q¢/l = 58800/340000 » 0,2 (кг), где

m¢ - это масса воды, обратившейся в лёд при температуре 0°С.

Как только лёд нагреется до 0°С, теплообмен между льдом и водой прекратится, так как они будут иметь одинаковые температуры.

Итак, получили: вода остынет до 0°С, часть её (а именно m¢ = 0,2 кг) замёрзнет и станет льдом при 0°С, а лёд нагреется до 0°С. И в результате в калориметре будет находиться смесь воды и льда при 0°С. При этом масса воды будет равна:

m_в = m₁ - m¢= 0,8 кг - 0,2 кг = 0,6 кг,

а масса льда равна: m_л = m₂ + m¢ = 2 кг + 0,2 кг = 2,2 кг.

Ответ: Вкалориметре при 0°С находится смесь воды (0,6 кг) и льда (2,2 кг).