Функции двух и более переменных.

Важным направлением, обобщающим исходные идеи математического анализа, является рассмотрение функций нескольких переменных. Следует отметить, что без этого раздела анализа невозможно и исчерпывающее изложение методов функции одной переменной. В частности это относится к изучению неявных функций.

Рассмотрим множества . Их прямым произведением называется множество упорядоченных наборов по n элементов в каждом наборе , где говорят, что на подмножестве M прямого произведения задана функция от n переменных, если каждому набору соответствует единственное значение y из области значений Y.

В частности функция от двух переменных определена на множестве пар . Часто в этом случае независимые переменные обозначают через x и y, а зависимую через z. Изучение функции от двух переменных естественным образом увязывается с декартовой системой координат в трехмерном пространстве. Роль графика функции z = F(x,y) играет некоторая поверхность, образованная точками с координатами (x, y, F(x,y)).

На функции нескольких переменных переносятся такие понятия как область определения, область значений, непрерывность. Функция называется непрерывной, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. В случае функции нескольких переменных бесконечно малым приращениям аргументов должно соответствовать бесконечно малое приращение функции. Для функции двух переменных z = F(x,y) приращения аргументов и дают приращение функции . Пусть , тогда функция z непрерывна в точке (x,y), если .

Понятие предела распространяется на функции нескольких переменных без каких-либо проблем.

В случае, если мы зафиксируем один из аргументов функции двух переменных, мы получим функцию одного переменного:

, где .

Допустим, что эта функция дифференцируема в точке , тогда ее производная

называется частной производной по x и обозначается через или . Аналогично вводится и частная производная по y – . Для функций более чем двух переменных также легко определяются частные производные по различным переменным.

Можно легко придумать функции, имеющие частные производные в точке, но даже не непрерывные в ней. Чтобы функция была «хорошей», желательно потребовать от нее существование частных производных в окрестности точки. Тогда, образно говоря, ткань функции-поверхности соткана из двух семейств гладких нитей, идущих вдоль осей x и y.

Выражение называется полным приращением функции z = F(x,y).

Теорема.

Если частные производные и существуют и непрерывны в некоторой окрестности точки , то имеет место формула , где и зависят от и и вместе с ними стремятся к нулю.

Доказательство.

Полным дифференциалом функции двух переменных называется линейная часть приращения функции: .

Касательная плоскость к поверхности z = F(x,y).

Пример.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности точки (x₀, y₀) определена функция Z = F(x, y), имеющая в этой области непрерывные первые частные производные, а так же смешанные вторые частные производные. Тогда эти смешанные производные равны между собой в точке (x₀, y₀).

Доказательство.

Рассмотрим выражение

.

Его можно свернуть двумя путями:

1.

2.

Откуда и следует теорема о смешанных производных.

Формула Тейлора.

Для функции двух переменных имеет место формула аналогичная формуле Тейлора, хотя она значительно сложнее.

Экстремумы функции двух переменных.

Поскольку частная производная указывает рост по направлению изменения одной из независимых переменных, для точек экстремума частные производные должны обращаться в ноль. Однако это и в случае функции одной переменной не гарантирует наличие экстремума. Тем более нет гарантии для функции двух переменных.

Если f′_x и f′_y равны нулю, поведение функции определяется членами ряда Тейлора то есть речь идет об изучении поверхности Z = a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y².

Выделим полный квадрат, предварительно умножив выражение на a₁₁:

а²₁₁ x² + 2 a₁₁ a₁₂xy + а²₁₂ y² – а₁₂ y² + a₁₁ a₂₂ y² = (a₁₁x + a₁₂ y)² + (a₁₁ a₂₂ – а²₁₂) y²

Первый член всегда положителен. Если a₁₁ a₂₂ – а²₁₂ > 0, то и вся сумма положительна, но обращается в ноль. Значит, мы имеем максимум при a₁₁ < 0 или минимум при a₁₁ > 0. Если же a₁₁ a₂₂ – а²₁₂ < 0, то можно так подобрать x и y, что выражение примет разные знаки. Экстремума нет.