Понятие функции комплексного переменного.




Даны две плоскости комплексных чисел и .

у v

 

       
   
G
 
 

 


0 х 0 u

 

Рассмотрим некоторое множество D в плоскости z и множество G в плоскости w. Если каждому числу ставится в соотношении по некоторому закону определённое комплексное число , то говорят, что на множестве D задана однозначная функция комплексной переменной, отображённое множество D в множество G и обозначается . Множество D называется областью определения функции.

Функцию можно записать в виде , где , - действительные функции от переменных x,y.

Если каждому значению z соответствует несколько разных значений w, то функция называется многозначной.

Говорят, что функция имеет предел в точке , равный числу , если .

Для комплексных функций имеют место свойства, аналогичные соответствующим свойствам действительных функций:

;

,

 

Функция называется непрерывной в точке , если для неё выполняется свойство:

Это равенство эквивалентно двум равенствам:

.

Следовательно, непрерывность f точке эквивалентно непрерывности функций и в точке .

Производная функция комплексного переменного. Пусть задана однозначная функция на области D комплексной плоскости z.

Производной от функции f(z) в точке z называется предел

,

когда z любым образом стремиться к нулю.

Функцию f(z), имеющую непрерывную производную в любой точке области D комплексной плоскости, называется аналитической функцией на этой области.

Основные свойства производных функций комплексных переменных, аналогичны соответствующим свойствам производных для функций действительных переменных.

Условия Коши – Римана. Рассмотрим комплексную функцию , , определена на области D комплексной плоскости. Пусть она имеет производную в точке : . Тогда следующие равенства называют условиями Коши - Римана:

Теорема 1. Если функция имеет производную в точке , то её действительные компоненты u и v d в точке (x,y) имеют частные производные 1-го порядка, удовлетворяющие условию Коши-Римана.

Теорема 2. Если функции u(x,y), v (x,y) имеют в точке (x,y) непрерывную частную производную, удовлетворяющую условие Коши-Римана, то её функция комплексная переменная имеет в точке производную, которую можно вычислить по формуле:

.

Теорема 3. Для того чтобы функция была аналитической на области D плоскости z, необходимо и достаточно чтобы частные произведения первого порядка функций u и v были непрерывны на D и выполнялось условие Коши-Римана:

; .

Формулы Эйлера. Рассмотрим ряд

заменим в данном ряде z на iz, тогда

.

cos z sin z

так как , , то заменяя в тождестве Эйлера z на –z, получаем:

.

Из этих равенств можно получить следующие:

,

Эти формулы также носят название Эйлера.

Пользуясь тождеством Эйлера, получаем так называемую показательную формулу для представления комплексного числа:

Пример. Дифференцируема ли функция f(z) = z2 - 2iz.

Решение: f(z) = (x+iy)2 -2i(x+iy) = x2 +2xyi -y2 -2xi + 2y = x2 - y2 +2y +

+ i(2xy - 2x), итак u = x2 - y2 +2y, v = 2xy - 2x, тогда

Условия Коши - Римана выполняются, следовательно, функция дифференцируема.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2021-04-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: