У К. Маркса есть образное, но поразительно точное сравнение формирующейся теории в науке с неким парадоксальным строительством многоэтажного здания. При этом теоретизирующие учёные не только «рисуют воздушные за́мки» (т. е., выдвигают гипотезы, которые в конце концов оказываются ложными), но и «возводят отдельные этажи научного здания, прежде чем заложить его фундамент».
В частных историях теоретизации научных знаний полно соответствующих примеров. Сама марксистская политэкономия сформировалась отнюдь не только трудами Маркса. Прежде А. Смитом и Д. Риккардо был сформулирован и использован в частных экономических теориях (стоимости и цены товаров, денег, труда и зарплаты, земельной ренты и др.) закон измерения стоимости товаров общественно-необходимым рабочим временем на их производство. При этом возникали многочисленные противоречия, которые стимулировали углублённую разработку закона стоимости. Маркс её и завершил, вскрыв двойственную природу труда и товара. Обосновав тем самым все частные теории экономических явлений высших общественных форм этой базисной теорией. (В пределах возможного для экономической науки своей эпохи, о чём было сказано выше.) Квантовая механика начала своё становление в 1900–1907 годах с первых, наиболее грубых частных квантовых теорий процессов с участием астрономического количества микрочастиц вещества и излучения. (С теорий излучения нагретого тела (М. Планк), фотоэффекта и теплоёмкости кристаллов (А. Эйнштейн), «квантового газа» из астрономического количества фотонов (А. Эйнштейн, Ш. Бозе́).) После экспериментального открытия Э. Резерфордом ядерно-электронной структуры атома (1911 год) квантовые понятия и законы были перенесены в область теории простейших атомов (водородных и водородоподобных ионов с одним электроном). В ходе разработки теории этого сравнительно элементарного объекта к 1927 году был сформирован и сформулирован полный комплекс понятий и законов нерелятивистской квантовой механики. Под неё было подведено наиболее глубокое (на многие десятилетия) теоретическое обоснование, которое вскоре было оптимальным образом оформлено и математически (Дж. фон Нейман). Теоретическая химия 19 века с её периодическим законом и закладкой основ органической химии вплоть до создания зрелой квантовой теории атомов и молекул не имела более глубокого теоретического обоснования. Не имела такого обоснования в лице кинетической теории тепла и термодинамика первой половины 19 века. При этом такая принципиальная недоработанность теоретических основ не препятствовала этим естественнонаучным теориям успешно решать свои задачи, поставленные опытом и технической практикой (как в случае термодинамики первой половины 19 века) и делать эпохальные открытия.
В современной логике и методологии науки широко признано, что новая теория, решив обширный комплекс проблем, тут же ставит новые проблемы. Как правило, существенно более сложные и трудные. В частности, обоснование периодического закона в химии через теорию самих атомов. Или обоснование законов термодинамики через законы кинетической теории идеальных газов. Или обоснование классической генетики через теорию самих макромолекул в геноме ядра живой клетки. Теории после таких обоснований становятся качественно более сложными и утончёнными – подобно современной химии, обоснованной через квантовую теорию атомов. Но и это обоснование не является «окончательным». В микрофизике на очереди Единая теория элементарных частиц вещества и поля. За её созданием, несомненно, последует и качественно более совершенная и утончённая квантовая химия и физика твёрдого тела. Но уже многие десятилетия «драма идей» в поисках этой Единой теории, в основном, мало затрагивает всестороннее развитие квантовой химии и теории твёрдого тела. Не препятствует решению ими тысяч своих фундаментальных и прикладных частных задач. В частности, в области современной электроники как аппаратной основы информационных технологий.
Как такое возможно? Как можно в естествознании эффективно теоретизировать без понимания «первооснов» его объектов? Прежде всего, это – факты истории теоретического естествознания. У современного научного мировоззрения есть и объяснение этих фактов. Материальный мир устроен по принципу многоуровнево-системной иерархии структурных уровней. И на каждом из них объективно комплексы явлений и соответствующих законов в широких пределах автономны, т. е. не зависят от того, что́ «глубже». Ярчайший образец – та же теоретическая химия 19-го века со всеми своими ограниченными понятиями, но и с открытиями и технологическими приложениями без знания внутренней структуры атомов. Последняя в полной мере была открыта только в период с 1898 года (открытие электронов) по 1932 год (открытие нейтронов в атомном ядре). Типичное Марксово «строительство жилых этажей до закладки фундамента»! Который и сейчас не самый глубокий, поскольку Единая теория элементарных частиц остаётся открытой проблемой проблем современной теоретической физики.
Это великолепно подчеркнул и Д. И. Менделеев: «Узнать, понять и охватить гармонию научного здания с его недостроенными частями – значит получить такое удовлетворение, которое могут дать только высшая красота и правда».
Математическая отрасль науки в культуре европейцев пошла в интенсивный рост вместе с наукой современного, новоевропейского исторического типа. Как известно, поворотным этапом в этом стали выработка Р. Декартом на основе метода координат основ аналитической геометрии, а также ключевого понятия функциональной зависимости между переменными величинами. Над этим в исторически кратчайшие сроки «надстроились» основы дифференциального и интегрального исчисления (классического анализа), разработанные И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Ньютоном было осознано, что большинство дифференциальных уравнений не может быть точно проинтегрировано. Для этого требуется особые приёмы приближённых и численных методов решения. С него начинается и систематическая разработка вычислительной математики, хотя в «зачаточных формах» она известна с древности. Но классический анализ, ставший основным математическим языком физических теорий 17–19 веков, при этом не имел собственного хотя бы первичного обоснования. Был типичным «жилым этажом, построенным (и небезуспешно эксплуатируемым!) до закладки фундамента». Первичное (ныне «школьное») обоснование через теорию пределов он получил только в первой половине 19 века трудами О. Коши и К. Вейерштрасса.
Со школы известно, что классический анализ базируется на теории непрерывных функций. В последней четверти 19 века трудами Г. Кантора было положено начало попыткам обоснования математики через первичную версию теории множеств из дискретных элементов. Её специалисты называют «наивной» версией. Но эта наивность родственна «наивности» системы теоретической химии 19 века без понимания того, какие труднейшие проблемы возникнут на пути к квантовой теории структуры самих атомов. Парадоксы теории бесконечных множеств, породившие в 20 веке кризис в основаниях математики (См., напр., [13], [14], [15].), не препятствуют использованиям утончённой математики на основе теории множеств в решении массы конкретных задач, которые до этого были «неподъёмными». Например, методами теории катастроф – расчёты скачкообразных изменений динамики объектов и перестроек их структуры.
Современное положение с основаниями математики не может считаться благополучным. Более того, выдающийся российский математик-академик В. И. Арнольд в 1998 году считал его бедственным. В [16] он писал о «левополушарной мафии», узурпировавшей права на наилучшее обоснование математики и нанесшей огромный вред делу математического просвещения. Он имел в виду тот известный из психологии человека факт, что левое полушарие мозга ответственно за абстрактное мышление в словах и понятиях, а правое – за целостное восприятие предметов. В математике – за геометрически наглядное. Все мы со школы знаем, что одно дело – восприятие функции по её геометрически наглядному графику и совсем иное дело – её восприятие по аналитическому выражению. Ценностный конфликт в «точных» науках «левополушарников» и «правополушарников» известен веками. Так, в 18 веке один из творцов аналитической механики Ж.-Л. Лагранж даже гордился тем, что в его книге нет ни одного графика, но только аналитические формулы и формально-логические выкладки. В. И. Арнольд резко критиковал гипертрофирование в математике левополушарного мышления в ущерб геометрическому и учебные популяризации математики через её абстрактно-аналитические обоснования в ущерб геометрическим первоосновам.
Для дальнейшего сошлюсь на такой пример из элементарной школьной математики. Есть система уравнений двух пересекающихся кривых – кубической параболы и квадратичной. Требуется найти её корни. То есть, точки пересечений. Причём, методом итераций (последовательных приближений). При этом выбирается какое-то правдоподобное значение первой функции и подставляется во вторую. Потом полученное значение второй подставляется в первую. Потом полученное значение первой подставляется во вторую и т. д., пока значения не сравняются. Чисто аналитическая процедура: пошагово заполняемая таблица получаемых значений под руками и калькулятор. Но если представить две функции графически, то она становится наглядной. И сразу же можно определить, что при некоторых выбранных первых значениях итерационный процесс пойдёт не к точке пересечения графиков, а к бесконечности. Станет расходящимся вместо сходящегося. С точки зрения причинно-следственного описания, этот итерационный процесс с обратной связью (нелинейный). В нём следствие очередного итерационного акта (его результат) влияет на причину последующего. Сходящийся к корню результат устойчивый и его обратная связь отрицательная. Расходящийся неустойчивый, сам себя разрушает и его обратная связь положительная. Бесконечность и один из корней как бы притягивают к себе этот нелинейный процесс с обратными связями. И по-современному именуются аттракторами (от франц. attraction – притягивать). Но где-то есть и граница раздела областей двух аттракторов. Как на ней поведёт себя этот итерационный вычислительный процесс?
Основоположник неевклидовой геометрии фракталов Б. Мандельброт во второй половине 70-х годов решил обстоятельно исследовать этот вопрос. Для геометрической наглядности результатов он перешёл на плоскость комплексных чисел, каждое из которых определяется двумя координатами. А поскольку даже элементарные вычисления с комплексными числами при точности расчётов с многими знаками после запятой дело трудоёмкое и поскольку таких расчётов требуются миллиарды, он возложил эту миссию на компьютер. Который впервые в истории математики ярчайшим образом выступил в роли научного прибора для первичного экспериментального обследования новой области. Что́ из всего этого получится, Мандельброт наперёд не знал. А получилось нечто потрясающее – фрактальная фантасмагория зон конкурирующего взаимопроникновения разных аттракторов. Её бесконечная сложность и разнообразие находится поистине на грани абсурда в сравнении с элементарностью порождающих итерационных вычислительных процессов. В дальнейшем Мандельброт обобщил эти результаты в своём множестве, носящем его имя. (Его фрагмент представлен на картинке в начале статьи.) Оно также является фрактальным и бесконечно сложным. И при движении по его оси в точности, со всеми деталями по-своему воспроизводит один из сценариев перехода нелинейных динамических систем в состояние динамического хаоса в физике плазмы и лазерных сред, в фазовых переходах типа ферромагнитного и сверхпроводящего, в хаотизации автоволновых процессов химической природы, в динамике популяций в биоценозах и др. (См. в [17].)
Вот такая получилась «элементарная» арифметика, лежащая в фундаменте здания математики! Не берусь судить о том, куда эти результаты развернут проблематику оснований математики и какими открытиями увенчаются. Только констатирую как историко-научный факт, что в арифметику открытия Мандельброта внесли самые современные идеи синергетики – идеи нелинейных процессов с положительными и отрицательными обратными связями, их устойчивости и неустойчивости, фрактальную «геометризацию» теоретико-вероятностного анализа. И даже один из важных законов теории динамического хаоса. И если даже в сравнительно наипростейших объектах-процессах математики встали во многом открытые проблемы синергетики, то о какой тотальной и тотально эффективной математизации можно говорить даже применительно к наукам «точного» естествознания? Применительно к общественным наукам, включая экономическую, – тем более!