Основными параметрами финансовой сделки являются: S (0) – началь- ная сумма денег, предоставляемая в долг на время T; S (T) – возвращаемая сумма денег через период T и срок сделки T, обычно измеряемый в годах.
Доходность – это количественная мера позитивного эффекта финансо- вых операций, связанных с вложением денег. Негативной стороной таких операций является риск, связанный с возможностью финансовых потерь. Анализ позитивных и негативных факторов позволяет говорить об эффек- тивности финансовой операции. Начнем с рассмотрения способов расчета показателей доходности.
При расчете доходности любой операции производится анализ затрат и результатов.
Основные виды доходности.
1. Доходность сделки за период, или инвестиционный доход:
I = S (T) - S (0),
где S (T) – возвращаемая сумма денег через период T; S (0) – начальная сумма денег, подлежащая инвестированию на время T.
2. Коэффициент прироста капитала, называемый также относитель- ным ростом или процентной ставкой:
r = S ( T ) - S (0),
T S (0)
измеряется в долях или в процентах в зависимости от цели анализа.
3. Коэффициент дисконтирования, или относительная скидка:
d = S (T) - S (0).
T S (T)
Указанные величины связаны соотношением 1 + rT
= 1.
1 - dT
4. Эффективная (нормированная) доходность (внутренняя норма до- ходности). Суть этого показателя – годовой эквивалент доходности.
Если проценты по вкладам начисляются раз в год, то в контракте фи- гурирует годовая процентная ставка r, или годовой дисконт d, и тогда
| 1+ r = 1. 1- d | (1.1) |
С течением времени начальная сумма вклада S (0) возрастает под влия- нием годовой процентной ставки r.
Наращение – это вычисление будущей стоимости S (T) текущей денеж- ной суммы S (0). Для расчетов используются следующие схемы:
|
|
Множителем наращения (мультиплицирующим множителем) Mm
называют величину, на которую умножается начальная сумма
S (0)
для по-
лучения конечной суммы S (T). В формулах (1.2) – (1.4) это, соответствен-
но,
(1+ T × r),
(1 + r) T
и æ1 +
|
r ö T × m
÷.
m ø
При простых процентах конечная сумма S (T) является линейной функ- цией времени, а при сложных процентах – показательной. Скорость роста степенной функции по сравнению со скоростью роста линейной функции
зависит от значения аргумента. При
Т > 1
начальная сумма увеличивается
быстрее по схеме (1.3), чем по схеме (1.2), а при Т < 1 наоборот.
При непрерывном начислении сложных процентов, выполним в (1.4)
предельный переход, устремляя m ® ¥:
S (T) = S( 0 ) exp (Tr).
Мультиплицирующий множитель
exp (Tr)
часто называют силой роста.
В банковской практике часто применяется ежемесячное, ежекварталь- ное и полугодовое начисление процентов по вкладам. Чтобы оценить накопленную сумму, нужно применять формулу (1.4) с величиной m рав- ной 12, 4 и 2, соответственно, причем показательный рост суммы оправ-
дан уже при Т × m > 1. На самом деле формула (1.4) ничего нового для рас-
четов не вносит, просто можно применять формулу (1.3), считая, что Т – число периодов, а r – процентная ставка за период.
Если срок сделки больше одного года, но не является целой величиной, то целесообразно комбинировать схемы простых и сложных процентов. При ежегодном начислении сложных процентов формула комбинирован- ной схемы следующая:
| S (T) = S (0)(1+ r)[ T ](1+ r ×{ T }), { T } = T -[ T ], | (1.5) |
где через
[ T ]
обозначена целая часть числа лет. Если сложные проценты
начисляются m раз в году, эта формула принимает вид:
| æ r ö[ T ]× m +[{ T }× m ]æ r ö S (T) = S (0)ç1+ ÷ ç1+ ×{ T } m ÷, { T } m = { T }× m -[{ T }× m ]. è m ø è m ø | (1.6) |
Несмотря на громоздкость, эта формула проста в применении, как бу- дет видно из примера 1.3.
Заметим, что в зависимости от обстоятельств, ставки могут измеряться в долях или в процентах, хотя в расчетах всегда используются доли. Для выполнения расчетов можно пользоваться стандартными финансовыми функциями электронных таблиц.
Если процентная ставка меняется, то при долгосрочных операциях применяют формулу начисления процентов с учетом реинвестирования средств:
n
S (T) = S (0)Õ(1 + rj).
j =1
n
Мультиплицирующим множителем будет Õ(1 + rj).
j =1
Пример 1.1. Что выгоднее покупателю «бесконечно» делимого товара: получить скидку 10% или «довесок» 10% при сохранении цены?
Решение. Скидку получить выгоднее, поскольку во втором случае
скидка составит лишь
0,1 » 0,0909
1+ 0,1
(9,1 %).
Пример 1.2. Банк предоставил ссуду в размере 5 000 дол. на 39 меся- цев под 20% годовых на условиях начисления сложных процентов m раз в году. Рассчитайте возвращаемую сумму при различных схемах начисле- ния процентов: а) схема сложных процентов; б) комбинированная схема, если m =1, m =2, m =6.
Решение.
1. Пусть m =1. Выразим 39 мес. в годах, считая, что в году 360 дней, в
месяце 30 дней: T =39×30 =13 =3,25 и воспользуемся формулами (1.3), (1.5):
360 4
а) S (3,25) = 5000 × (1+ 0,2)3,25 = 9042,93дол.;
б) S (3,25) = 5000 × (1+ 0,2)3 × (1+ 0,2 × 0,25) = 9072 дол.
2. При m =2 воспользуемся формулами (1.4), (1.6), поскольку
[{ T }× m ] =[0,5] =0, то формула (1.6) сводится к (1.5):
|
0,2 ö3,25×2
÷
= 9 290
дол.;
è 2 ø
|
0,2 ö6
÷
× (1+ 0,2 × 0,25) =9300,7 дол.
è 2 ø
3. При m =6 воспользуемся формулами (1.4), (1.6):
|
0,2 ö3,25×6
÷
=9 476,73дол.;
è 6 ø
|
0,2 ö18+1
÷
× (1+
0,2
× 0,5) = 9 477,9 дол.
è 6 ø 6
Процентная ставка, которая объявлена в договоре и используется в расчетах, называется номинальной.
Эффективной называется годовая ставка по сложным процентам, ко- торая позволяет за указанную в договоре сумму S (0) через T лет получить сумму S (T) независимо от указанной схемы начисления и номинальной процентной ставки. Значение эффективной ставки
| r =æ S ( T ) ö T -1 ef ç S (0) ÷ è ø | (1.7) |
позволяет сравнивать между собой сделки, построенные по различным схемам. Чем выше эффективная ставка, тем (при прочих равных условиях) выгоднее сделка для кредитора.
Пример 1.3. Оценить по уровню процентной ставки и скидки вексель номиналом 300 тыс. руб. с датой погашения 15 мая 2010г., купленный 15 ноября 2009г. за 275 тыс. руб. (при использовании схем банковского и математического дисконтирования). Рассчитать эффективную ставку.
Решение.
1. Заметим, что T
= 0,5,
S (0) = S = 275, S (T) = N = 300.
2.
|
S (0) = S (T) × 1 Þ r =
æ ö
1 = -1 = 0,181818.
1 + T × r
ç
T è S
(0)
÷ ç ÷
ø 0,5 è275 ø
3. Если использовать банковскую формулу дисконтирования, получим:
d = 1 - 1 S =
1 - 1 275 = 0,16667.
T T N
0,5 0,5 300
4. Можно сделать вывод, что различие в используемых схемах расче- тов может привести к затруднению анализа. Для этого в процентных рас- четах вводится эталон сравнения – эффективная ставка. Вычислим эффек- тивную ставку:
ref
=æ300 ö0,5
|
- 1 = 0,19
(19 %).
è ø
Отсюда получаем учетную ставку, эквивалентную найденной эффек-
тивной:
d = 0,19 /1,19 = 0,1597
(15,97 %).
Если начисление ведется по схеме сложных процентов m раз в году, то
| æ r ö m ref = ç1 + m ÷ -1, è ø | (1.8) |
в частности, при m = 1 и
ref = r.
ref
Если сложные проценты начисляются непрерывно, то
= exp (r)-1.
S (T) = S (0)exp(Tr),
Пример 1.4. Какие условия предоставления кредита более выгодны банку:
а) процентная ставка составляет 28% годовых, сложные проценты начисляются ежеквартально;
б) процентная ставка составляет 29% годовых, сложные проценты начисляются раз в полгода;
в) процентная ставка составляет 27,5% годовых, сложные проценты начисляются непрерывно.
Решение. В случае а),
r =0,28,
m =4. По формуле (1.11):
æ 0,28 ö4
ref
= ç1+
è
÷-1 = 0,31 4 ø
æ
[31%].
0,29 ö2
В случае б),
r =0,29,
m =2. Находим
ref
= ç1+
è
÷-1 = 0,311 2 ø
[31,1%].
Сравнивая эффективные ставки для случаев а) и б), делаем вывод о том, что банку более выгоден вариант б).
В случае в),
-
риант является наилучшим.
Замечание. В MSExcel (а также в OpenOfficeCalc и других электрон- ных таблицах) существует удобный инструмент вычисления эффективной ставки. В Excel это функция ЭФФЕКТ():
Пример 1.5. В одном банке за использование денег клиента по пласти-
ковой карте ежегодно начисляют сложные 2 %, а в другом банке – ежеме-
сячно сложные 0,16 %. В каком банке держать деньги?
Решение. Выгоднее первый вариант, поскольку эффективная ставка в
этом случае выше:
0,02 > (1 + 0,0016)12 -1 = 0,019.
В данном случае для использования финансовой функции ЭФФЕКТ() нужно рассчитать сначала годовую ставку:
Результат:
