Дисконтирование – вычисление текущей стоимости S (0) будущего де- нежного поступления S (T).
Банковское дисконтирование применяется для учета банком кратко- срочных векселей. Клиент может обратиться в банк с просьбой погасить вексель досрочно. Банк может согласиться выплатить ему сумму, однако ее размер будет меньше, чем указано в векселе:
| S = N (1- T × d), | (1.9) |
где S – сумма выплаты по векселю, N – номинал векселя, T – доля года, равная отношению числа дней до срока платежа к длительности года, d – годовая ставка дисконтирования, определяемая банком. Дисконт по данной операции составит:
| D = N - S = Td, N | (1.10) |
и именно такой доход получит банк от этой сделки [1]. Обычно размер го- довой ставки дисконтирования значительно выше средней банковской ставки по кредитованию ввиду того, что число T значительно меньше единицы, и при меньшей ставке такая операция для банка потеряет смысл.
Используя принятые обозначения, формулу (1.9) можно переписать в виде:
S (T) =
S (0)
(1 - T × d).
Математическое дисконтирование: при простых процентах:
| S (0) = S (T) × 1, 1+ T × r | (1.11) |
при сложных процентах с начислением m раз в году:
| S (0) = S (T) × 1, æ r ö T × m ç1 + m ÷ è ø | (1.12) |
в частности, при m = 1
| S (0) = S (T) × 1. (1+ r) T | (1.13) |
Дисконтирующим множителем Dm
называют величину, на которую
умножается конечная сумма S (T) для получения начальной суммы S (0). В
формулах (1.11) – (1.13) это, соответственно, (1 + T × r)-1,
(1 + r)- T
и æ1 +
r ö- T × m
÷.
|
Связь между мультиплицирующим и дисконтирующим множителе:
Mm =1/ Dm.
Пример 1.6. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 5 000 000 руб. со сроком погашения 28.09.2007 г. Вексель предъявлен 13.09.2007 г. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 75% годовых. Какую сумму получит векселедержатель?
Решение. Считая, что в году 360 дней, находим
T =28 -13 =
360
1, и приме-
24
няем формулу (1.5) при N = 5 000 000 млн. руб., d = 0,75:
|
è
1 × 0,75ö
|
руб. = 4 84 750 руб.
Найдем эффективную процентную ставку по формуле (1.7):
æ 5 ö24
ref
= ç ÷
4,844
-1 »114%.
è ø
Эквивалентными называются ставки, при которых условия сделки S (0) и S (Т) для заданного периода Т одни и те же.
Часто процентные ставки, привязанные к конкретной схеме начисле- ния процентов, помечают индексами (s – “simplex” – “простой”, c – “com-
plex” – “сложный”). Пусть rs
и rc
– годовые ставки простых и сложных
процентов, соответственно. Приравнивая множители наращения:
(1+ T × r) =(1+ r) T, находим:
s c
| (1+ r) T -1 1 rs = c; r =(1+ T × r) T -1. T c s | (1.14) |
Пример 1.7. Г-н Х вложил в банк 100 тыс. руб. на 2 года под 25% го- довых с условием начисления простых процентов на всю сумму вклада в конце второго года. В целях унификации схем расчетов банк решил начислять сложные проценты ежегодно. Какую минимальную ставку банк должен предложить, чтобы не потерять клиента?
Решение. Чтобы клиент получил предусмотренную договором сумму в конце второго года, банк должен предложить ставку по сложным процен- там, эквивалентную ставке по простым процентам, зафиксированной в сделке. Из формул (1.14) непосредственно получаем:
rc = (1+ 2 × 0,25)2 -1 = 0,225
[22,5%].
Эквивалентные сложная процентная ставка
rc и учетная ставка по
сложным процентам dc
связаны уже знакомым соотношением:
rc =
dc;
1 - dc
dc =
rc.
1 + rc
Банковский дисконт – это учетная ставка при использовании схемы простых процентов. Несложно установить связь учетной ставки при про- стых процентах (ds) с процентной ставкой при простых процентах (rs):
1+ Trs
= 1
1- Tds
, rs
= ds.
1- Tds
Найдем процентную ставку для примера 1.6, считая, что используется схема простых процентов:
rs =
ds
1- Tds
= 0,75
1- 0,75 / 24
» 77,42%.
Эквивалентными называются платежи, которые, будучи «приведенны- ми» к одному моменту времени, оказываются равными.
Операция «приведение к моменту Т » денежной суммы, относящейся к
моменту
Т 0, означает, что эта сумма наращивается по схеме простых или
сложных процентов при
Т 0 < Т, и дисконтируется, при
Т 0 > Т
причем пе-
риод операции составляет
Т - Т 0.
Процентная ставка, вычисленная по формуле:
r 0 =æ S 2 (Т 2) ö T 2 - T 1 -1,
ç ÷
è S 1(T 1) ø
| (1.15) |
где
S 1(Т 1) и
S 2(T 2)
– денежные суммы, получаемые через время T 1
и T 2, со-
ответственно, называется критической (барьерной).
Если в расчетах использовать схему сложных процентов и барьерную
ставку, то указанные суммы
S1(T1)
и S2 (T2)
будут эквивалентными. С
этой точки зрения барьерная ставка является обобщением понятия эффек- тивной ставки. Действительно, сравним два долгосрочных обязательства:
выплатить сумму
S 1(Т 1)
через время T 1
и сумму
S 2 (T 2)
через время
T 2, при-
чем
S 1(T 1) < S 2 (T 2),
T 1 < T 2. Поскольку обязательства долгосрочные, наращение
происходит по схеме сложных процентов. Эти обязательства будут экви-
валентными, если, к примеру, сумма
S 1(T 1), наращенная на
T 2 - T 1
лет, будет
равна сумме
S 2 (T 2):
S (T)×(1+ r) T 2- T 1 = S (T),
1 1 0 2 2
откуда вытекает (1.13). Заметим, что формула (1.13) имеет смысл только
если
S 1(T 1) < S 2 (T 2), T 1< T 2
или
S 1(T 1) ³ S 2 (T 2), T 1 ³ T 2.
Аналогично получается формула для расчета барьерной ставки при ис- пользовании в расчетах схемы простых процентов.
Если процентная ставка ниже критической, предпочтительнее полу- чить сумму, которая относится к более позднему моменту времени, а если процентная ставка выше критической ставки, то предпочтительнее более ранняя сумма.
Пример 1.8. Какую сумму предпочтительнее получить при сложной ставке 9% годовых: 1 000 дол. сегодня или 2 000 дол. через 8 лет? При ка- ком значении процентной ставки выбор безразличен?
Решение.
Подсчитаем наращенную величину с суммы 1 000дол. по ставке 9%:
S (8) = 1000 × (1,09)8 = 1992,6 < 2 000 дол.
Следовательно, надо предпочесть сумму 2000 дол. через 8 лет. Найдем барьерную ставку по формуле (1.13)
 |
|
r = æ2000 ö8 -1 = 0,091 (9,1%).
0 1000
è ø
При
r = r 0
выбор безразличен. При
r > r 0
будет предпочтительнее сумма
1 000 дол. сегодня.
В предыдущем разделе рассматривалось понятие эффективной ставки. Это, по сути, цена кредита, выданного на год с условием возврата всей суммы в конце срока. При анализе финансовых платежей, имеющих ха- рактер потока, расчет эффективной ставки производится на основании со- ставления уравнения баланса, т.е. приравнивание дисконтированных или наращенных к выбранному моменту времени сумм, имеющих знак «-» (отток денег) к приведенным к тому же моменту суммам, имеющим знак
«+» (приток денег). В качестве ставки дисконтирования используется эф- фективная ставка.
Например, в счет оплаты за партию товара (стоимость 300 000 руб.) выписано 2 векселя. Один (номинал 200 000 руб.) погашается через 3 ме- сяца, второй (номиналом 120 000руб.) – еще через 3 месяца.
Составляем уравнение баланса для расчета эффективной ставки, дис- контируя все суммы к моменту отгрузки товара:
300 000 = (200 000
+(120 000;
x = (1 + r
)3 /12;
75 x 2 - 50 x - 30 = 0;
1 + ref
)3 /12
1 + ref
)6 /12 ef
x » 1,048254 Þ ref = x 4 -1 » 20,744%.
Рекомендуется подобные расчеты выполнять в электронной таблице, используя ссылочную структуру вычислений, или в математической про- грамме, например wxmaxima.
В MSExcel стандартная финансовая функция ЧИСТВНДОХ (в свобод- но распространяемых электронных таблицах эта функция часто называет- ся иначе, например, в OpenOffice.Calk, XIRR):
Небольшие расхождения в расчетах объясняются различным количе- ством дней в месяцах года. Так, если сделка была заключена в мае, то в результате получаем 20,56%:
Ясно, что в любой финансовой сделке фигурируют реальные даты, по- этому расчет с использованием программных средств будет более точным.
Если заменить два векселя одним сроком погашения через 1 год, этот новый вексель должен быть выписан на 362 232рублей.
Более подробно расчет эффективной ставки (кредитование) или внут- ренней нормы доходности (инвестирование) будет рассмотрен ниже.
1. Башарин, Г.П. Начала финансовой математики / Г.П. Башарин. - М.: ИНФРА-М, 2019. - 160 c.
2. Блау, С. Л. Финансовая математика / С.Л. Блау, С.Г. Григорьев. - М.: Academia, 2017. - 193 c.
3. Блау, С.Л. Финансовая математика / С.Л. Блау. - М.: Академия (Academia), 2017. - 122 c.
4. Брусов, П. П. Задачи по финансовой математике / П.П. Брусов. - М.: КноРус, 2017. - 772 c.
5. Брусов, П.Н. Задачи по финансовой математике. Для бакалавриата / П.Н. Брусов. - М.: КноРус, 2017. - 498 c.
6. Брусов, П.Н. Задачи по финансовой математике. Учебное пособие / П.Н. Брусов. - М.: КноРус, 2014. - 610 c.
7. Брусов, П.Н. Справочник по финансовой математике: Учебное пособие. Гриф МО РФ / П.Н. Брусов. - М.: ИНФРА-М, 2017. - 114 c.
8. Веретенников, А. Ю. Некоторые главы анализа и приложение к финансовой математике: моногр. / А.Ю. Веретенников. - М.: Прометей, 2016. - 661 c.
9. Димитриади, Г. Г. Введение в финансовую математику: моногр. / Г.Г. Димитриади. - М.: Ленанд, 2016. - 658 c.
10. Задачи по финансовой математике. Учебное пособие / П.Н. Брусов и др. - М.: КноРус, 2014. - 288 c.
11. Задачи по финансовой математике. Учебное пособие / П.Н. Брусов и др. - Москва: Наука, 2015. - 288 c.
12. Капитоненко, В. В. Задачи и тесты по финансовой математике / В.В. Капитоненко. - М.: Финансы и статистика, 2015. - 368 c.
13. Капитоненко, Валерий Владимирович Задачи и тесты по финансовой математике. Учебное пособие. Гриф УМО вузов России / Капитоненко Валерий Владимирович. - М.: Финансы и статистика, 2019. - 276 c.
14. Касимов, Ю. Ф. Финансовая математика / Ю.Ф. Касимов. - М.: Юрайт, 2014. - 336 c.
15. Касимов, Ю.Ф. Введение в финансовую математику / Ю.Ф. Касимов. - М.: Российский университет дружбы народов (РУДН), 2017. - 488 c.
16. Копнова, Е.Д. Основы финансовой математики / Е.Д. Копнова. - М.: Маркет ДС, 2019. - 720 c.
17. Люу, Ю-Дау Методы и алгоритмы финансовой математики / Ю-Дау Люу. - М.: Лаборатория знаний, 2018. - 792 c.
18. Малыхин, В. И. Финансовая математика / В.И. Малыхин. - М.: Юнити-Дана, 2018. - 248 c.
19. Мицкевич, А. Финансовая математика / А. Мицкевич. - М.: Олма-пресс, 2015. - 128 c.
20. Печенежская, И. А. Финансовая математика / И.А. Печенежская. - М.: Феникс, 2018. - 192 c.
21. Справочник по финансовой математике. Учебное пособие. - Москва: Огни, 2017. - 609 c.
22. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА / Е.В. Ширшов и др. - Москва: Наука, 2016. - 144 c.
23. Финансовая математика / Е.В. Ширшов и др. - М.: КноРус, 2014. - 144 c.
24. Финансовая математика / П.Н. Брусов и др. - М.: КноРус, 2018. - 224 c.
25. Четыркин, Е.М. Финансовая математика / Е.М. Четыркин. - М.: Дело; Издание 6-е, испр., 2017. - 400 c.
26. Чусавитина, Г. Н. Основы финансовой математики. Учебное пособие / Г.Н. Чусавитина. - М.: Флинта, 2014. - 694 c.
27. Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики (том 2, Теория) / А.Н. Ширяев. - М.: [не указано], 2018. - 512 c.
28. Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики. В двух томах (комплект из 2 книг) / А.Н. Ширяев. - М.: МЦНМО, 2016. - 904 c.
29. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики (количество томов: 2) / А.Н. Ширяев. - М.: Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО), 2016. - 506 c.
30. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики (том 1, Факты. Модели) / А.Н. Ширяев. - М.: [не указано], 2018. - 337 c.
Задачи решить до следующей лекции
1. Предприятие получило кредит на один год в размере 10 млн руб. с условием вернуть 13 млн руб. Рассчитать процентную и учетную ставки.
2. На счете в банке 1,2 млн руб. Банк платит 11,5% годовых. Предлага- ется войти всем капиталом в совместное предприятие, при этом прогнози- руется удвоение капитала через 5 лет. Принимать ли это предложение?
3. Если г-н Х вложит сейчас некоторую сумму денег с условием непре- рывного начисления сложных процентов с интенсивностью δ, он получит через 2 года 1 000 дол. Если он вложит половину этих денег на 4 года при той же интенсивности непрерывного начисления сложных процентов, то через 4 года получит 600 дол. Найти исходную сумму вклада и интенсив- ность роста доходов δ.
4. Продавцом в уплату за товар, цена которого составляет 10 000 руб., выписано четыре векселя с погашением по полугодиям. Учетная ставка простых процентов d=10%. Определить процентные платежи и номиналь- ные цены векселей с использованием банковской схемы.