Михаил Петрович Ивановский Ф. Д. Бублейников
Золотое правило
Михаил Ивановский
ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО
На старом кладбище
Марк Туллий Цицерон – знаменитый римский оратор, писатель и государственный деятель – приехал в Сицилию. Он был назначен квестором, то есть хранителем казны и начальником всех сборщиков налогов и пошлин на этом острове.
Объезжая подвластную ему страну, Цицерон посетил Сиракузы. Этот некогда славный и богатый город был столицей маленького греческого государства, покоренного римлянами в 212 году до нашей эры, то есть за 137 лет до приезда в Сиракузы Цицерона. Полуразрушенный и разграбленный завоевателями город захирел и опустел.
Покончив с неотложными делами, Цицерон решил поискать в окрестностях Сиракуз могилу Архимеда – гениального греческого математика, механика, инженера и изобретателя.
Цицерон спросил старшин города:
– Скажите мне, где находится могила Архимеда?
– Никто у нас не знает, где похоронен человек, о котором ты спрашиваешь, Цицерон, – отвечали старшины.
Может быть, они и в самом деле не знали этого, а может быть, не хотели рассказывать.
«Неизвестно, что задумал квестор, – рассуждали про себя старшины. – Цицерон – римлянин, а Архимед был злейшим врагом Рима. Зачем понадобилась Цицерону могила Архимеда?»
Но квестор Цицерон не привык к отказам в стране, подвластной Риму. Он настаивал и требовал ответа.
– Надо поискать бы на старом кладбище, – промолвил кто‑то, рассчитывая, что важный и знатный римлянин в белоснежной тоге не решится посетить заросшее колючками и кустарником кладбище.
Но Цицерон приказал вести себя.
Сопровождаемый свитой, римскими воинами – охраной – и старшинами города, Цицерон вышел за городские ворота. Перед ним открылась пустынная местность.
Оберегая тогу от колючек, медленно шел римлянин по кладбищу. Под ногами шныряли золотистые ящерицы, шипели змеи, прячась под изъеденные временем надгробные плиты; повсюду валялись куски мрамора, отвалившиеся от старых памятников. Вдали Цицерон заметил одинокую колонну, чуть возвышавшуюся над кустами волчца‑чертополоха и колючего терновника.
– Это похоже на то, что я ищу! – воскликнул Цицерон и приказал расчистить путь к колонне.
Рабы бросились вперед и кривыми ножами прорубили тропинку. Цицерон приблизился. На основании памятника виднелись полустершиеся буквы стихотворной надписи, а на колонне можно было различить изображение цилиндра с вписанным в него шаром.
– Тут погребен Архимед! – сказал Цицерон.
Он читал в старых книгах, что Архимед завещал своим родственникам изобразить на его надгробном памятнике цилиндр с вписанным в него шаром. По‑видимому, воля ученого была выполнена. Благодаря этому Цицерон без труда опознал памятник.
Осмотрев могилу Архимеда, Цицерон вернулся в Сиракузы и записал о своей находке в дневнике. При этом он не удержался от замечания, что соотечественники Архимеда даже не знали, где находится могила их великого ученого.
Рассказывают, будто Цицерон приказал отремонтировать памятник. Такова была дань его уважения к гениальному математику и изобретателю.
С тех пор прошло свыше двух тысячелетий. О памятнике никто не заботился. Мраморная колонна со временем рассыпалась в прах.
Сын Фидия
О детских и юношеских годах и вообще о жизни Архимеда почти не сохранилось достоверных сведений. Известно только то, что он родился недалеко от Сиракуз в 287 году до нашей эры. Его отец, астроном и математик Фидий, был человеком скромным и небогатым.
Следуя обычаям того времени, Архимед должен был унаследовать профессию своего отца. Поэтому Фидий дал сыну математическое образование, посвятив его в тайны своей науки. На большее у родителей Архимеда не хватило средств.
В эти годы родственник Фидия, Гиерон, служивший в войсках греческого царя Пирра, проявил себя храбрым, умелым и энергичным полководцем. Вернувшись в Сиракузы во главе преданных ему солдат, Гиерон захватил власть и сделался царем этого города.
Фидий и Архимед стали таким образом родственниками царя. Пользуясь поддержкой Гиерона, Фидий смог послать Архимеда совершенствовать свои знания.
Учеными тогда славились три города: Афины в Греции, Пергам в Малой Азии и Александрия в Египте. Но лучшие математики жили в Александрии – там трудился Евклид, основатель геометрии, оставивший после себя много талантливых учеников. Архимед поехал в Александрию.
В Египте будущий великий математик подружился с географом Эратосфеном и астрономом Кононом. Он изучал математику и астрономию, особенно же интересовался геометрией и механикой.
Как сообщают некоторые историки, в молодости Архимед успешно руководил в Египте постройкой плотин и дамб, ограждавших поля от буйных разливов Нила. Там же, в Александрии, он изобрел и усовершенствовал водоподъемный механизм, так называемую «водяную улитку», или' Архимедов винт. «Улитки» Архимеда долго служили людям, и не только в Египте. При их помощи с успехом откачивали воду из серебряных рудников Испании.
Теперь Архимедов винт не применяется для подъема воды. Есть более совершенные механизмы – насосы. Архимедов же винт нашел себе применение в мясорубках. Такие же винты, как и в мясорубке, но более длинные, служат для перемещения на небольшое расстояние сыпучих или тестообразных веществ. Их можно, например, встретить на кирпичных заводах, где Архимедовы винты подают к прессам глину, из которой изготовляют кирпичи.
Возвращение на родину
Отъезд Архимеда в Александрию совпал с началом Первой Пунической войны[1](264–241 гг. до нашей эры). Тогда два крупных рабовладельческих государства – Рим и Карфаген – боролись за господство на Средиземном море. Они стремились захватить остров Сицилию – богатейшую житницу, снабжавшую хлебом Рим и Карфаген, находившийся неподалеку от нынешнего Туниса.
Сиракузский царь Гиерон был на стороне Карфагена. Когда же он увидел, что Карфаген близок к поражению, то решил вступить в переговоры с Римом. Притворной покорностью ему удалось обмануть римлян и сохранить независимость Сиракуз. Вся остальная часть Сицилии, ранее принадлежавшая Карфагену, отошла к Риму.
Гиерон понимал, что самостоятельность Сиракуз, окруженных со всех сторон римскими владениями, непрочна. Он предвидел, что, раньше или позже, римские легионы вторгнутся в его владения. Нужно было подготовиться к предстоящей неизбежной борьбе: расширить и отремонтировать укрепления, запастись оружием, построить военные машины.
«Рим велик и грозен, – рассуждал Гиерон, – но борьба с ним небезнадежна. Ведь вражда между Римом и Карфагеном не прекратилась, она только на время утихла. Пройдет несколько лет – Карфаген соберется с силами, и снова между этими государствами вспыхнет война».
Гиерон мечтал о восстановлении владычества греков в Сицилии. Поэтому он решил принять участие в будущей войне против Рима. Он стал настойчиво звать в Сиракузы Архимеда, о котором получал похвальные отзывы как об искусном инженере.
Архимед, желавший вернуться на родину, принял приглашение Гиерона. Он поселился при дворе царя и, как рассказывают историки, в постройке укреплений сначала не участвовал, а целиком отдался геометрическим исследованиям.
Римский историк Плутарх рассказывает, что Архимед, погрузившись в вычисления, забывал решительно обо всем на свете и потому… редко ходил в баню. Домашние силой выпроваживали Архимеда из дому в сопровождении раба. Архимед, продолжая на ходу решать геометрическую задачу, частенько останавливался на полпути и начинал чертить на песке свои круги и треугольники.
«Он жил как бы околдованный, оставив всякие заботы. о пище, о питье и о своем теле, – сообщает Плутарх. – Иногда, приведенный в баню, он чертил пальцем на золе очага геометрические фигуры».
Есть и другие сообщения историков о том, что мысль Архимеда всегда была занята задачами геометрии и механики.
Открытие рычага
Первым научным исследованием Архимеда в механике было доказательство закона рычага.
Люди применяли рычаги с незапамятных времен и умели ими искусно пользоваться. На постройках египетских пирамид рабы втаскивали тяжелые камни наверх при помощи рычагов. Судостроители ставили мачты на кораблях рычагами. Воду из колодцев доставали, пользуясь журавлем, то есть рычагом с противовесом. Римляне взвешивали товары на художественно изготовленных рычажных весах – безменах. Корабли древних приводились в движение веслами и имели рулевое управление, а руль и весла– тоже рычаги.
Рычаг, ворот, блок и зубчатые колеса были известны людям задолго до Архимеда. Техники знали, что с помощью этих простых машин можно малой силой двигать большие тяжести. Но объяснить, почему рычаг или ворот позволяет сделать это, никто не мог.
Ученые наблюдали, как рабы на постройке налегают всем телом на длинные плечи рычагов. Приподнимаемая ими каменная глыба покачивалась и медленно двигалась на предназначенное ей место. А эти глыбы не так‑то уж малы. Каждый камень, из которых сложена величайшая из пирамид Египта, весит две с половиной тонны! Такие камни рабы вручную поднимали по уступам пирамиды на высоту пятидесятиэтажного дома! Техники не думали о том, почему рычаг позволяет малой силой поднимать большие тяжести. Когда же этот вопрос стали обсуждать философы, то они решили, что дело тут в «волшебных свойствах» круга, потому что концы рычага во время работы движутся по дугам окружностей.
Вот что писал об этом один из учеников философа Аристотеля:
«Окружность одновременно выпукла и вогнута. Каждая точка окружности – начало и конец. Продвижение по кругу – это движение вперед и одновременно назад. Пути, описываемые концами рычага, – круговые, отсюда происходят его чудесные свойства».
Объяснение, безусловно, замысловатое. Но философы того времени часто прибегали к таким умозрительным объяснениям явлений природы. Вместо наблюдений и опытов они наделяли вещи разными «чудесными свойствами».
Центр тяжести
Архимед не приписывал «волшебных свойств» кругу. Он знал, что явления природы объясняются естественными причинами. Такое объяснение действия рычага и хотел найти Архимед.
Простейший рычаг – это металлический или деревянный стержень. Если его подпереть в середине, то стержень останется в равновесии. Когда к концам рычага подвешены одинаковые грузы, то равновесие не нарушится. Но если на один конец рычага подвешен большой груз, а на другой – маленький, то рычаг выйдет из равновесия: одно его плечо опустится, а другое поднимется. Чтобы равновесие восстановилось, нужно опору передвинуть к большому грузу.
Архимед понял, что у рычага есть точка, в которой как будто собрана вся тяжесть грузов. Если рычаг подперт в этой точке, он сохраняет равновесие.
Эту точку Архимед назвал центром тяжести. Он исследовал условия равновесия других тел и доказал, что у каждого из них есть центр тяжести.
Тело, подпертое в центре тяжести, сохраняет равновесие при любом положении. У хорошо сделанного колеса центр тяжести – в отверстии ступицы. Поэтому колесо, насаженное на ось, находится в безразличном равновесии: как его ни поворачивай, оно сохраняет то положение, в каком его остановили. Этим пользуются, когда проверяют, хорошо ли уравновешено велосипедное колесо. Оно должно вращаться очень легко, но, когда его останавливают, колесо не должно поворачиваться само по себе.
Закон рычага
Архимед установил закон равновесия рычага: «плечи обратно пропорциональны силам (грузам)». Иначе говоря, длинное плечо должно быть во столько раз больше короткого, во сколько раз малый груз легче тяжелого. Например, пусть одно плечо рычага имеет в длину 20 сантиметров, а другое – впятеро больше–100 сантиметров. Тогда на короткое плечо можно подвесить 5 килограммов, а на длинное – только 1 килограмм, и рычаг останется в равновесии.
Это правило можно выразить другими словами: «произведения длины плеч на приложенные к ним силы равны между собой». Действительно, при взятых нами размерах плеч рычага и грузах:
5 X 20 = 1 X 100.
Однако рука, держащая длинное плечо рычага, описывает больший путь, чем конец короткого плеча. Пути, пройденные концами рычага, тоже обратно пропорциональны силам. Если конец длинного плеча пройдет расстояние в полметра, то короткое плечо – только 10 сантиметров. Пятикратный выигрыш в силе сопровождается пятикратным проигрышем в расстоянии.
Воображаемый опыт
Установив закон рычага, Архимед утверждал, что любую тяжесть можно приподнять малой силой, если только возможно взять соответствующей длины рычаг. Говорят, будто бы он воскликнул:
– Дайте мне точку опоры, и я приподниму Землю!
Современные ученые сомневаются в справедливости этой легенды. Архимед был хорошим математиком, и он должен был представлять, какой примерно понадобится рычаг для того, чтобы шевельнуть Землю.
Для опыта попробуем мысленно приподнять рычагом не весь земной шар и даже не гору высотой 5 или 6 километров, а только гранитный холм, имеющий коническую форму и высоту 540 метров.
Объем гранитного конуса такого размера равен округленно 165 миллионам кубических метров, а вес –445 миллионам тонн.
Сила, с какой человек может нажать на рычаг, не превышает его веса, то есть примерно 75 килограммов.
Значит, на одно плечо рычага будет действовать сила в 75 килограммов, а на другое – в 445 миллионов тонн, то есть в 5,9 миллиарда раз больше.
Плечи рычага обратно пропорциональны силам. Поэтому, если одно плечо возьмем равным километру, те другое должно быть в 5,9 миллиарда раз длиннее. Иначе говоря, длинное плечо Архимедова рычага, приподнимающего гору, выдвинулось бы за пределы солнечной системы. Силачу, орудующему этим рычагом, пришлось бы перебраться на планету Плутон, чтобы оттуда «нажимать» на рычаг.
Слово «нажимать» взято в кавычки по необходимости: ведь выигрыш в силе неминуемо связан с потерей в расстоянии. Пути, проходимые концами рычага, обратно пропорциональны силам.
Чтобы приподнять гранитный холм всего лишь на метр, другому концу рычага придется описать в пространстве гигантскую дугу в 5,9 миллиона километров!
Воображаемому силачу нужно было бы не нажимать на рычаг, а терпеливо тянуть или толкать его. Если при этом он вышагивал бы в сутки по 80 километров, то всю работу закончил бы только в том случае, если дожил бы до 200‑летнего возраста!
Не только сдвинуть земной шар, но даже приподнять небольшую горку не мог бы человек, пользуясь рычагом. Правда, Архимед не знал, какова масса земного шара. Но расчет веса горы он уже мог сделать. Конечно, он понимал, что в действительности невозможно переместить такую большую массу.
Легенда о галере
– Клянусь Зевсом, ты рассказываешь удивительные вещи, Архимед! – воскликнул Гиерон, слушавший пояснения ученого о свойствах рычага. – Но где же найти точку опоры, чтобы приподнять Землю? Поясни это.
– Такой точки не существует, – ответил Архимед.
– Значит, убедиться в могуществе механики невозможно? – продолжал Гиерон.
– О нет! Ты ошибаешься, – возразил ученый. – Я могу предоставить тебе, царь, множество иных примеров!
Как сообщает Плутарх, Архимед будто бы похвалился перед Гиероном, что силой руки он поведет корабль посуху, как по морю. И даже осуществил это.
Плутарх пишет: «Архимед выбрал одну из царских галер. С превеликим трудом многих рук ее вытащили из воды на землю, нагрузили как обычно и посадили на нее много народу. Сам же Архимед сел на некотором удалении и потом без особого усилия стал двигать рукоятку своей машины, состоявшей из блоков и веревок, и тянуть галеру, которая пошла, не качаясь, как будто бы плыла по ровной поверхности моря».
Другой историк рассказывает это предание иначе. Гиерон будто бы построил в подарок египетскому царю – фараону – галеру, и она была так велика, что не хватало сил спустить ее на воду. На берег созвали все население Сиракуз, но даже усилий мужчин целого города оказалось недостаточно. Тогда Архимед установил свою машину и легко, движением одной руки, столкнул галеру в море.
Наконец, третий историк утверждает, что галеру надо было вытащить на берег для ремонта.
Последнее предположение наиболее вероятно. Днища кораблей, особенно деревянных и некрашеных галер, очень быстро обрастали ракушками и водорослями. Это затрудняло движение судна – снижало скорость хода. Время от времени, по крайней мере раз в год, днище приходилось очищать, а заодно – конопатить и смолить. Для этого надо вытаскивать галеры на сушу– работа трудоемкая и тяжелая.
Наверное, Архимед решил применить свои познания в механике, чтобы облегчить труд людей и ускорить эту работу.
Сейчас нельзя решить, правдивы или ложны рассказы историков. Их сочинения не дают для этого каких‑либо дополнительных сведений, но вообразим, что Плутарх прав и дело обстояло именно так, как он рассказывает. Попробуем решить, мог ли Архимед силой руки сдвинуть галеру.
Современное решение
Для современного инженера техническая задача, придуманная Архимедом, не так уж трудна. В настоящее время, в случае надобности, передвигают многоэтажные каменные дома. Под здание подводят стальные рамы (закладывая в толщу цоколя стальные балки), потом при помощи домкратов опускают его на катки, уложенные на рельсы, и тянут дом мощными электрическими лебедками.
Здание движется очень медленно – только белые черточки‑метки на торцах катков, постепенно смещаясь, выдают их еле уловимое вращение. Дом катится, а в это время в квартирах горит свет, действуют водопровод и канализация, и ничто не нарушает повседневную жизнь населения движущегося дома. Люди ложатся спать, а утром выглядывают в окно и смотрят, на сколько метров ушел за ночь их дом.
Когда в Москве расширяли и спрямляли улицы, таким способом было передвинуто несколько больших зданий.
В 1953 году точно так же перевезли с места на место доменную печь, весившую 1500 тонн!
Кирпичное четырех‑ или пятиэтажное здание или доменная печь весят куда больше, чем деревянная галера. Следовательно, задача Архимеда не фантастична, она вполне осуществима современными средствами.
Но у Архимеда не было мощных лебедок. Он хотел силой собственных рук, пользуясь блоками, воротом или рычагами, передвинуть галеру.
Предварительные сведения
Прежде всего хотелось бы знать, какова была галера, которую тянула машина Архимеда. Сведения о римских или греческих галерах скудны и неточны. Древние историки любили преувеличивать. Если им поверить, то галеры не уступали в размерах современным крейсерам, что, конечно, неверно.
По некоторым сведениям, наибольшие из галер поднимали до 200 тонн груза, то есть они весили вместе с грузом и командой около 400 тонн. Такие галеры все же были редкостью. Вес обычной торговой галеры вместе с грузом равнялся примерно 75–100 тоннам.
Надо думать, что Архимед не стал выбирать для опыта, себе во вред, самую крупную из галер сиракузского царя, – он взял обычную галеру. Предположим, что водоизмещение, то есть вес этой галеры с грузом, равнялось 75 тоннам.
Галера, безусловно, стояла на катках, и двигать ее необходимо было по каткам. Предположим, что сила, потребная для того чтобы тянуть галеру, составляла примерно одну пятую от ее веса – 15 тонн.
Допустим также, что Архимед мог вращать рукоятку своей машины с силой в 30 килограммов.
Этих предположительных данных вполне достаточно, чтобы решить первую часть задачи: каков выигрыш в силе должна была дать машина Архимеда?
Силе тяги в 30 килограммов противостояла сила трения в 15 тысяч килограммов. Следовательно, машина Архимеда должна была дать ему выигрыш в силе в пятьсот раз. Но во столько же раз она давала проигрыш в расстоянии.
Если галера подвинулась бы на метр, то рука Архимеда должна была пройти путь в 500 метров.
Этот расчет сделан так, как будто в машине Архимеда не было никаких потерь на трение, что, конечно, неверно. Поэтому выигрыш в силе в пятьсот раз недостаточен. Он должен быть несколько большим.
Теперь остается найти тот путь, каким мог воспользоваться Архимед для решения своей задачи.
Ворот и лебедка
Ворот – извечная принадлежность колодцев, одно из древнейших изобретений человеческого гения. Обрезок круглого полена, насаженный на ось и снабженный рукояткой, – вот и все нехитрое устройство этого приспособления для поднятия тяжестей. Часто взамен рукоятки на оси вала укрепляют колесо, похожее на корабельный штурвал. Человек вращает колесо или рукоятку, вал ворота поворачивается, на него наматывается канат, а ведро или бадья, привязанная к канату, поднимается.
С помощью ворота поднимали воду из глубоких колодцев знойной Аравии. Изможденные рабы египетских фараонов или греческих жрецов воротом выволакивали глыбы мрамора из каменоломен. Воротом поднимали на земную поверхность руды металлов на копях Испании или Македонии. Он оказывался полезным всюду, где было недостаточно силы человеческих рук.
Выигрыш в силе, даваемый воротом, зависит от толщины вала и длины рукоятки. Чем длиннее рукоятка и чем тоньше вал, тем больше выигрыш в силе – тут действует тот же закон рычага: во сколько раз рукоятка ворота длиннее радиуса вала, во столько же выигрывается в силе и теряется в расстоянии.
Обычный колодезный ворот имеет вал толщиной сантиметров около двадцати и примерно метровое колесо. Такой ворот дает пятикратный выигрыш в силе, а рука человека проходит путь в пять раз больший, чем поднимаемый груз.
Архимеду надо было увеличить силу тяги в пятьсот раз. Если бы он вздумал тянуть галеру воротом, то ему пришлось бы сделать 100‑метровое колесо или 100‑метровую рукоять. Его машина получилась бы такой же высоты, как Исаакиевский собор в Ленинграде, и этот ворот остался бы самой нелепой и самой неподвижной машиной в мире, потому что ни у кого не хватило бы сил вращать тяжелое 100‑метровое колесо.
Практически ворот может дать только десятикратный выигрыш в силе.
Ворот помочь Архимеду не мог. Тогда, может быть, ему пригодилась лебедка?
Простейшая ручная лебедка – это два ворота, соединенные в один механизм. Рабочий, вращая рукоятку одного ворота, приводит в движение вал с зубчатым колесом‑шестеренкой, которая соединена с большим зубчатым колесом второго ворота. Вал второго ворота тянет и наматывает на себя канат.
Если каждый ворот лебедки дает десятикратный выигрыш в силе, то оба вместе, то есть вся лебедка в делом, увеличат силу тяги в сто раз. Архимеду же надо было получить по меньшей мере пятисоткратное увеличение.
Изготовление лебедки требует большого умения обрабатывать железо и сталь: надо было сделать хорошие стальные шестеренки, нарезать правильные зубья, выточить оси и т. п. Современный металлообрабатывающий завод мог бы построить для Архимеда превосходную лебедку, но во времена Архимеда заводов еще не было. Техника обработки металла стояла тогда на низком уровне. Об изготовлении лебедки, дающей пятисоткратный выигрыш в силе, Архимед мог только мечтать.
Машина Архимеда не была ни воротом, ни лебедкой!
Блок и полиспаст
Плутарх указывает, что машина Архимеда состояла из блоков и веревок.
Блок – это колесико с желобчатым ободом, насаженное на ось и укрепленное в обойме. Колесико принято называть шкивом. Желобок в ободе шкива нужен для того, чтобы канат не соскальзывал в сторону и плотнее прилегал к шкиву.
Неподвижный блок, как известно, никакого выигрыша в силе не даст.
Подвижный блок удваивает силу тяги. Поэтому одиночным блоком Архимед, конечно, воспользоваться не мог: от него мало проку.
Тогда, может быть, это был полиспаст, состоящий из нескольких подвижных и неподвижных блоков.
Слово «полиспаст» – греческое, оно образовано из двух корней: «поли» – много и «спао» – тяну. Значит, «полиспаст» – это «многотяг», приспособление, позволяющее много тянуть. В настоящее время строители называют полиспаст талями.
Обычно тали состоят из трех неподвижных блоков, помещенных в общей обойме, и трех подвижных блоков, которые вращаются на одной оси в другой обойме. Через все блоки полиспаста проходит канат или трос. Один его конец закреплен в неподвижной обойме, а за другой конец тянет рабочий, поднимающий груз.
Один подвижный блок удваивает силу тяги, а в полиспасте подобных блоков три. Поэтому такой полиспаст дает шестикратный выигрыш в силе. Чтобы получить еще больший выигрыш в силе, надо увеличить число блоков.
Архимеду были нужны тали, состоящие из двухсот пятидесяти подвижных и такого же числа неподвижных блоков. Если бы он пожелал воспользоваться столь сложным приспособлением, ему пришлось бы преодолевать сопротивление трения в пятистах блоках и в пятистах канатных петлях, огибающих эти шкивы. Даже трактор не потянул бы галеру, если бы его снабдили столь несуразным механизмом. Конечно, Архимед наверняка не пытался изготовить полиспаст из пятисот блоков.
Тогда он, может быть, воспользовался несколькими полиспастами, но разместил их особым способом? Например, канаты, привязанные к галере, он мог подтянуть к крюку подвижной обоймы первого полиспаста, канат от этого полиспаста накинуть на крюк второго, канат от второго полиспаста – на крюк третьего, а канат от третьего полиспаста подать на обычный ворот.
Такое последовательное соединение механизмов могло оказаться очень выгодным: первый полиспаст увеличил бы силу тяги в шесть раз, и второй тоже в шесть раз, и третий во столько же раз. Общий выигрыш в силе от применения полиспастов достиг бы 6X6X6 = 216 раз. Затем ворот по меньшей мере дал бы выигрыш в три раза, а все четыре механизма вместе взятые позволили бы увеличить эффект силы в 648 раз.
Казалось бы, вот оно, искомое решение. Но – увы! – комбинация из трех полиспастов и ворота все же слишком громоздка и сложна. Если бы у Архимеда имелись полиспасты, изготовленные на современном заводе, с металлическими шкивами на стальных осях, то, может быть, что‑нибудь и получилось бы. Но все‑таки трение в трех полиспастах и в вороте слишком велико – большая часть выигрыша в силе пошла бы на преодоление трения.
Червячная лебедка
Известно, что Архимед изобрел бесконечный винт, который также может служить для выигрыша в силе.
Рабочий рукояткой вращает валик, на котором сделана винтовая резьба. Такой валик называется «червяком». Выступающий гребень резьбы червяка входит в промежутки между зубьями шестерни и, поворачиваясь, толкает их – и шестерня вращается. Шестерня– зубчатое колесо, наглухо соединенное с валом, на который наматывается канат.
Каждый оборот червяка поворачивает шестерню только на один зубец.
Выигрыш в силе, даваемый червячной передачей, может быть очень большим. Он зависит от длины рукоятки, от устройства червяка, от числа зубцов на шестерне и от толщины вала, на который наматывается канат.
Чем длиннее рукоятка червяка, чем больше зубьев на шестерне и чем тоньше вал, тем больше выигрыш в силе.
Устроить червячный механизм, дающий пятисоткратный выигрыш в силе, вполне возможно. Но для этого нужна сталь, а не железо и не медь. Отделать резьбу червяка и нарезать безупречно правильные и косые зубья шестерни тоже не так‑то просто: необходим стальной инструмент, которого во времена Архимеда не было.
Применение червячного механизма Архимедом хотя и возможно, но все же сомнительно.
Разностный ворот
Существует еще один весьма простой механизм, которым мог воспользоваться Архимед.
Представьте себе обычный колодезный ворот, но только его вал сделан разной толщины: одна сторона, допустим – правая, потолще, а левая – потоньше. Канат намотан на обе половины вала: один конец на более толстую, а другой – на ту, что потоньше. Середина каната образует петлю, продетую сквозь подвижный блок.
Когда вал вращают, канат сматывается с тонкой части вала, проходит сквозь блок и наматывается на толстую часть.
Получается нечто похожее на арифметическую задачу с бассейном, к которому подведены две трубы, через меньшую вода вливается, а через большую вытекает. Так и тут: канат сбегает с тонкой части вала ворота и навивается на толстую, а блок мало‑помалу подтягивается к вороту. Выигрыш в силе, даваемый таким воротом, зависит от разницы в длине окружностей толстой и тонкой частей вала, и ворот поэтому называется разностным, или дифференциальным. Чем меньше разница между диаметрами тонкой и толстой частей, тем больше выигрыш в силе.
Разницу в толщине обеих частей вала можно сделать совсем незначительной, а потому выигрыш в силе получится громадным. Например, если рукоятка дифференциального ворота имеет в длину 80 сантиметров, окружность толстой части вала– 100 сантиметров, а тонкой – 99 сантиметров, то такой ворот увеличит силу тяги в тысячу раз.
Для решения задачи Архимеда этого более чем достаточно.
Дифференциальный блок
Может быть, у мастеров того времени не хватило умения построить разностный ворот, дающий силу тяги в 15 тонн, но тогда Архимед мог соединить ворот с дифференциальным блоком.
Этот остроумный механизм состоит всего лишь из двух блоков – подвижного и неподвижного, но неподвижный блок особого устройства: он изготовлен из двух шкивов разного диаметра, намертво скрепленных друг с другом. Такой блок похож на дифференциальный ворот: там вал разного диаметра, а тут шкив такой же.
Действует этот блок так: цепь или канат огибает шкив меньшего диаметра, опускается к подвижному блоку, проходит сквозь него и возвращается на неподвижный блок, но попадает на шкив большего диаметра.
Большой шкив подтягивает канат быстрее, чем его отпускает меньший, и поэтому подвижный блок медленно поднимается к неподвижному и подтягивает за собой груз. Выигрыш в силе получается за счет разницы в размерах шкивов неподвижного блока.
Когда разница между ними невелика, усиление тяги получается большое.
Дифференциальный ворот в соединении с полиспастом или дифференциальным блоком – наиболее вероятные механизмы, которые Архимед мог применить, для того чтобы вытянуть галеру царя Гиерона.
Однако, какой бы механизм Архимед ни применил, нельзя сказать, что он будто бы «повел галеру легкими движениями руки». Ведь пятисоткратный выигрыш в силе влечет за собой точно такой же проигрыш в расстоянии. Для того чтобы двинуть галеру только на метр, рука Архимеда должна была проделать путь по меньшей мере в 500 метров. Иначе говоря, вращая рукоятку своей машины, Архимед должен был сделать несколько сот оборотов рукоятки на каждый метр движения галеры.
Выдумка Плутарха
Продолжая свой рассказ о событиях минувших лет, Плутарх диктовал рабу‑писцу: «Царь, пораженный виденным и оценив могущество науки, пригласил Архимеда построить машины, пригодные для обороны города».
По словам Плутарха, Архимед согласился, но сделал это неохотно, потому что презирал практическую деятельность и считал свои изобретения игрушками. Историк писал: «Не должно думать, что Архимед придавал своим изобретениям большую цену. Для него это были большей частью как бы игрушки геометрии. Он исполнял их, уступая почетным настояниям царя Гиерона. Гиерон убеждал Архимеда перенести на время духовную мощь свою с умственных вещей на телесные и дать людям возможность ощутить силу его соображения, дав ее практическое, полезное применение… Построение же машин и все искусство, направленное на удовлетворение житейских потребностей, было в глазах Архимеда чем‑то неблагородным и низкоремесленным».
Однако этот отзыв не согласуется с теми сведениями об Архимеде, которые сохранила для нас история. Когда Архимед жил в Египте, он не только изучал математику, но и строил плотины и изобрел «водяную улитку», для того чтобы облегчить труд земледельцев, перекачивавших воду на поля. Там он старался применить свои познания на пользу людям.
Вернувшись в Сиракузы, Архимед придумал приспособление, помогающее вытаскивать на берег галеры, подлежащие ремонту. А потом он 25 лет своей жизни отдал на то, чтобы построить военные машины, необходимые для защиты родного города.
Плутарх и другие римские писатели указывают, что Архимед не оставил описания своих изобретений и даже не упоминал о них в письмах друзьям.
– Значит, он не ценил свои изобретения! – делают вывод историки древнего мира.
Но вполне понятно, что, посылая письма своим друзьям‑геометрам в Александрию, Архимед сообщал им лишь о решенных геометрических задачах. Зачем бы стал он писать о метательных машинах, которые строили по его указаниям в мастерских царя Гиерона? Ведь его письмо могло нечаянно попасть в руки римлян! И таким образом была бы выдана государственная тайна.
Архимед прекрасно знал, что и александрийские и афинские ученые действительно презирают всякую физическую работу, для них труд – удел рабов! Так зачем же рассказывать о своих работах на благо отчизны? Для того чтобы подвергнуться насмешкам придворных ученых?
Архимед умышленно не писал о своих изобретениях. Он не считал нужным это делать.
Не таков был Архимед, каким его изображают римские историки. Он всегда применял свои знания и открытия на практике и не чуждался труда.
Началась война
Сиракузы не могли бороться с грозным Римом. В Первую Пуническую войну они вынужденно признали свою зависимость от Рима. И Гиерон аккуратно посылал римскому сенату ценные подарки, то есть платил дань, а жители Сиракуз скрепя сердце терпели надменное высокомерие римлян.
В Сиракузах тогда боролись две партии: олигархов и демократов. Олигархи – родовитые и богатые рабовладельцы – льнули к Риму; они продавали римлянам хлеб и покупали у них рабов. Демократическая партия состояла из сиракузских купцов, владельцев галер, ремесленников и мелких землевладельцев. Эта партия отстаивала независимость Сиракуз или, в крайнем случае, предпочитала присоединение к Карфагену. Большинство ученых тоже принадлежали к партии сторонников Карфагена.
И царь Гиерон и Архимед не были олигархами – они происходили из небогатой и не очень знатной фамилии. Оба увлекались науками: Архимед – геометрией, Гиерон – агрономией; Гиерон написал несколько книг по сельскому хозяйству.
Несомненно, Архимед не был обычным придворным ученым, а другом и советником Гиерона. И оба они ненавидели Рим.
Гиерон тайно посылал гонцов в другие греческие государства, призывая их объединиться против общего врага. Сиракузы же исподволь готовились к предстоящей войне за независимость. Архимед, по‑видимому, был главным инженером оборонительных соору<