Прямая и плоскость в пространстве

Уравнение

Ах + Ву + Сz + D = 0 (1)

(где А,В,C и D – постоянные коэффициенты, причем А² + В² +C²¹ 0) называется общим уравнением плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Если D ≠ 0, то разделив все члены уравнения (1) на (– D), получим уравнение плоскости в отрезках

Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀,у₀,z₀) и перпендикулярной вектору , имеет вид

А(х-х₀) + В(у-у₀) + С(z-z₀) = 0. (3)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М₁(х₁,у₁,z₁), М₂(х₂,у₂,z₂), М₃(х₃,у₃,z₃) имеет вид

. (4)

Угол между плоскостями А₁ х + В₁ у + С₁ z + D₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + + С₂ z +D₂ = 0 определяется по формуле

. (5)

Условие параллельности плоскостей:

. (6)

Условие перпендикулярности плоскостей:

. (7)

Расстояние от точкиМ₀(х₀,у₀,z₀) до плоскости, определяемой уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0, находится по формуле

. (8)

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (5;4;3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.

Решение. Используя уравнение (2) плоскости в отрезках, в котором а=в=с, имеем . Координаты точки А удовлетворяют уравнению искомой плоскости, поэтому выполняется равенство , откуда а = 12. итак, получаем уравнение x + y + z - 12 = 0.

Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А (2;-1;4) и В (3; 2; -1) перпендикулярно плоскости x + y + 2 z - 3 = 0.

Решение. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять вектор, перпендикулярный вектору и нормальному вектору данной плоскости. Поэтому за примем векторное произведение и :

.

Остается воспользоваться уравнением плоскости (3), проходящей через данную точку (например, А) перпендикулярно заданному вектору =(11; -7; -2):

11(х -2) –7(у +1) –2(z -4) = 0, или 11 x - 7 y - 2 z - 21 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁,у₁,z₁) и М₂(х₂,у₂,z₂), имеет вид

. (9)

Уравнение прямой проходящей через точку М₁(х₁,у₁,z₁) параллельно направляющему вектору имеет вид

. (10)

Уравнение (10) называется каноническим уравнением прямой. Из уравнения (10), введя параметр t, нетрудно перейти к параметрическим уравнениям:

(11)

Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими уравнениями и , определяется по формуле

; (12)

условие параллельности двух прямых:

; (13)

условие перпендикулярности двух прямых:

. (14)

Угол между прямой и плоскостью Ах + Ву + Сz + + D = 0определяется по формуле

; (15)

условие параллельности прямой и плоскости:

; (16)

условие перпендикулярности прямой и плоскости:

. (17)

Пример 3. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую .

Решение. Используя условие (17) перпендикулярности прямой и плоскости и полагая A=l, B=m, C=n, D=0, составим уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной заданной прямой. Это уравнение имеет вид 2 х +3 у + z =0.

Найдем точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Параметрические уравнения прямой запишутся так: x =2 t +2, y =3 t +1, z = t +3. Для определения t имеем уравнение 2(2 t +3)+3(3 t +1)+ t +3=0, откуда . Координаты точки пересечения , т.е. .

Остается составить уравнение прямой, проходящей через точку М; используя соотношение (9), получим , или .

Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (1;1;1) и перпендикулярной векторам s₁ = 2 i + 3 j + k и s₂ = 3 i + j + 2 k.

Решение. Данная прямая параллельна вектору s₁ ´ s₂ = 5 i – j - 7 k, поэтому она определяется уравнением .

Упражнения:

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через заданные точки М₁ и М₂ перпендикулярно заданной плоскости Q:

а) Q: - x + y – 1 = 0, M ₁(1, 2, 0), M ₂(2, 1, 1);

б) Q: 2 x – y + z + 1 = 0, M ₁(0, 1, 1), M ₂(2, 0, 1).

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через заданные точки М ₁, М ₂, М ₃, если:

а) М ₁(1, 2, 0), М ₂(2, 1, 1), М ₃(3, 0, 1);

б) М ₁(1, 1,1), М ₂(0, -1, 2), М ₃(2, 3, -1).

3. Вычислить углы между следующими плоскостями:

а) 4 x – 5 y + 3 z - 1 = 0 и x – 4 y - z + 9 = 0;

б) 3 x – y + 2 z + 15 = 0 и 5 x + 9 y - 3 z - 1 = 0;

в) 6 x + 2 y - 4 z + 17 = 0 и 9 x + 3 y - 6 z - 4 = 0.

4. Вычислить расстояние:

а) точки (3; 1; -1) от плоскости 22 x + 4 y - 20 z - 45 = 0,

б) точки (4; 3; -2) от плоскости 3 x – y + 5 z + 1 = 0.

5. Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М ₁ и М ₂, если:

а) М ₁(1, -2, 1), М ₂(3, 1, -1);

б) М ₁(3, -1, 0), М ₂(1, 0, -3).

6. Прямая задана общими уравнениями. Написать канонические уравнения данных прямых, если:

а) б)

7. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (3; 0; -1), В (1; 2; -4) и С (0; 7; -2). Найти уравнения сторон АD и CD.