Проверка численного решения

Есть несколько способов проверить правильность численного решения уравнения (12). В некоторых случаях можно задать такие начальные условия, решения для которых можно представить в аналитическом виде. Для такой проверки можно использовать начальные условия в виде:

1) гауссовского импульса на входе, когда действует только дисперсия;

2) оптического солитона – начальные условия задаются в виде гиперболического секанса; действует дисперсия и нелинейность; здесь необходимо строгое соотношение между β₂, γ T₀ и P₀ и отсутствие потерь;

Далее, для контроля правильности решения необходимо вычислять сохраняющуюся величину – энергию импульса.

Проведение симуляций реальных экспериментов и предсказания экспериментов – основная область применения результатов численного решения. Кроме того, необходим комплекс вспомогательных вычислений: необходимо знать дисперсионную и нелинейную длины, величину дисперсионного разбегания и так далее. Есть необходимость наблидать за уширением длительности импульса и спектра в процессе распространения. Часто необходимо знать форму импульса, если спектр подвергнуть спектральной фильтрации. Численное решение на каждом шаге может дать такую информацию. В заключение приведем результаты численного решения уравнения (12), позволяющие наблюдать явление модуляционной неустойчивости.

Рис. 4. Наблюдение эффекта модуляционной неустойчивости. Численное решение.

Экспериментальная часть

Определение нелинейности показателя преломления

Теория

От величины γ в (12) сильно зависят результаты вычислений при расчетах действия ХД, ФСМ, ФКС, ЧВС. Поэтому возникает необходимость измерения константы нелинейности γ из (12). Он связан с нелинейным показателем преломления n₂ и эффективной площадью моды A_эфф следующим соотношением

. (25)

Отношение n₂ к A_эфф постоянно для среды, имеет порядок (2-17)·10^-10 Вт^-1 для различных одномодовых волокон.

Нелинейный коэффициент можно экспериментально определить используя явление модуляционной неустойчивости (МН) [14]. Физику этого явления можно найти в литературе [3]. Можно использовать спектральную характеристику коэффициента усиления модуляционной неустойчивости:

, (26)

где . (27)

Усиление происходит на частотах , где – центральная частота излучения. Максимум усиления наблюдается на частотах . При , близких к , но меньших , происходит резкий спад усиления. Для модуляционная неустойчивость не развивается. На практике можно определить зависимости и . – мощность непрерывного или квазинепрерывного излучения.

Использование непрерывного излучения затрудненно из-за развития ВРМБ. Вследствие ВРМБ часть мощности будет рассеиваться в волну, распространяющуюся в обратном направлении. Мощность будет уменьшаться по длине световода, а спектр усиления модуляционной неустойчивости не будет соответствовать (26). Для подавления ВРМБ, вместо непрерывного излучения можно использовать квазинепрерывное излучение. Период развития МН составляет ~ 1 пс, поэтому можно использовать импульсы с длительностью ≥ 100 пс, которые имеют прямоугольную форму. Тогда излучение будет кусочно непрерывным.

Уравнение (26) не учитывает потерь. Их действие приводит к уменьшению значения , а значит и . Для их учета нужно заменить на . Пусть длина исследуемого световода L, тогда спектральная характеристика модуляционной неустойчивости при прохождении излучением исследуемого отрезка волокна будет

. (28)

Можно выполнить интегрирование и проверить, что для малых L, для которых , (28) можно аппроксимировать

. (29)

Эксперимент

В работе исследуется «стандартное» связное одномодовое волокно (в данном случае это Corning SMF-28), удовлетворяющее рекомендациям МСЭ-Т (ITU) G.652. Оно наиболее часто используется в ВОЛС.

 

 

Рис. 5. Экспериментальная установка для определения нелинейности показателя преломления.

1 – оптические передатчики (λ = 1560.67 нм);

2 – оптический усилитель;

3 – 99% / 1% оптический ответвитель;

4 – тестируемое волокно 2 км;

5 – оптический анализатор спектра;

6 – измеритель мощности;

На Рис. 5 изображена схема установки. В качестве источника использовалось усиленное эрбиевым волоконным усилителем 2 излучение полупроводникового лазера 1 с шириной линии при непрерывном излучении порядка 5 ГГц. Средняя мощность излучения могла изменяться в диапазоне 0.05-1 Вт. Излучение модулировалось периодически повторяющимися прямоугольными импульсами длительностью 400 пс. Глубина модуляции 95 % (extinction ratio = 13 дБ). В эксперименте исследовалось изменение спектра излучения, прошедшего через исследуемое волокно 4. Спектр прошедшего через волокно излучения записывался в память анализатора спектра 5. Так же записывался в память спектр исходного излучения. Таким образом, можно было наблюдать изменение в спектре, вызванное явлением модуляционной неустойчивости.

По спектру определяются и для разных вводимых в световод мощностей . Согласно (27) . Определялась относительная разность этих значений . По этой разности можно качественно определить соответствие определенных в эксперименте характеристик и теоретической зависимости (29). Например, для равного 1.68 Вт, Δ = 1.3%, Δλ_с = 0.76 нм.

Рис. 6. Экспериментальное наблюдение развития модуляционной неустойчивости. P0 – уровни мощности прямоугольных импульсов.

Были обработаны спектры для входных мощностей в диапазоне от 0.76-1.68 Вт. Эти спектра изображены на рисунке. Результаты измерений: n₂/A_eff = (___±___)·10^-10 Вт^-1. Центральная длина волны λ = 1560.672 нм; α = 0.046 км^-1; β₂ = -22.71 пс²/км. Основной вклад в ошибку вносит ошибка измерения мощности излучения. Данные измерений хорошо согласуются с результатами измерений Antti Lamminpää и C. Vinegoni [15]-[19]. Это говорит о том, что этим методом действительно можно пользоваться для лабораторного измерения нелинейности показателя преломления.

Обобщение

Выполнено измерение нелинейности показателя преломления. Для этого использовалось явление модуляционной неустойчивости. Нелинейный коэффициент для марки волокна SMF-28 G.652 равен n₂/A_eff = (2.79±0.06)·10^-10 Вт^-1. Это согласуется с результатами измерений Antti Lamminpää и C. Vinegoni [15]-[19].

Результаты, полученные при решении уравнения распространения численными методами, помогают объяснить ухудшение качества передачи информации, вызванного ФСМ в линиях связи со скоростями передачи информации 10 Гб/с. Определено, что влияние ФСМ можно уменьшить, уменьшая количество компенсации удельной ХД (для волокон с аномальной дисперсией). Определена зависимость величины излишней компенсации от средней мощности, вводимой в волоконную линию связи для скорости передачи информации 10 Гб/с. Длина волокна 100 км, удельная дисперсия для λ = 1550 нм составляет D = 17.0 пс·км^-1нм^-1.

Литература

[3] Агравал Г. “Нелинейная волоконная оптика”, Пер с англ. – М.: Мир, 1996.

[4] Иванов А.Б. “Волоконная оптика: компоненты, системы передачи, измерения” – САЙРУС СИСТЕМС, 1999.

[5] Убайдуллаев Р.Р. “Волоконно-оптические сети” – М.: Эко-Трендс, 2001.

[6] Govind P. Agrawal, “Fiber-Optic Communications Systems”, Third Edition. John Wiley & Sons, Inc, 2002.

[7] Bo Xu “Study of Fiber Nonlinear Effects on Fiber Optic Communication Systems” – Ph. D. dissertation, Virginia Tech., Blacksburg, Virginia, 2003.

[8] Rongqing Hui, Kenneth R. Demarest, and Christopher T. Allen “Cross-Phase Modulation in Multispan WDM Optical Fiber Systems” – Journal Of Lightwave Technology, Vol. 17, No. 6, June 1999.

[9] D. Marcuse, A. R. Chraplyvy, and R. W. Tkach “Dependence of Cross-Phase Modulation on Channel Number in Fiber WDM Systems” – J. Lightwave Technol., vol. 12, pp. 885–890, 1994.

[10] Павлов В. Н. “Исследование и разработка методов повышения эффективности ВОСП с дисперсионным управлением” – МТУСИ, Диссертация, 2006.

[11] M. Aleshams, A. Zarifkar, M. H. Sheikhi “ Split-Step Fourier Transform Method in Modeling of Pulse Propagation in Dispersive Nonlinear Optical Fibers” – CAOL 2005, 12-17 September 2005, Yalta, Crimea, Ukraine.

[12] Z B Wang, H Y Yang and Z Q Li “The Numerical Analysis of Soliton Propagation with Slit-Step Fourier Transform Method” – Journal of Physics: Conference Series 48 (2006) 878–882.

[13] Brian R. Washburn “Numerical Solutions to the Nonlinear Schrodinger Equation”, Chapter IV.

[14] Bostjan Batagelj “Need of Knowing Fiber Non-linear Coefficient in Optical Networks”, Laboratory of Optical Communications, University of Ljubljana, 2002.

[15] Antti Lamminpää “Measurement of nonlinearity of optical fiber”, MPhil, Helsinki University Of Technology, 2003.

[16] Claudio Vinegoni “Nonlinear Effects in Optical Fibers”, Ph. D. dissertation, University of Geneva, 2001.

[17] C. Vinegoni, M.Wegmuller, N. Gisin “Determination of the nonlinear coefficient n2/Aeff using a self-aligned interferometer and a Faraday mirror”, University of Geneva, Electronic Letters, Vol. 36 (2000) pp. 886-87.

[18] C. Vinegoni, M.Wegmuller, N. Gisin “Measurements of the nonlinear coefficient of standard SMF, DSF, and DSC fibers using a self-aligned interferometer and a Faraday mirror”, University of Geneva, Photonics and Technology Lett., December 2001.

[19] Y. Namihira, K. Miyagi, K. Kaneshima, M. Tadakuma, C. Vinegoni, G. Pietra, K. Kawanami “A Comparison of Six techniques for nonlinear coefficient measurements of various single mode optical fibers”, University of Geneva, NIST 2002 Boulder, CO (USA).

[20] Rajiv Ramaswami, Kumar N. Sivarajan “Optical Networks. A Practical Perspective. Second edition” Morgan Kaufmann Publishers.

[21] Eduard Säckinger “Broadband Circuits for Optical Fiber Communications”A John Wiley & Sons, Inc., Publications.

[22] Nonlinear Fiber Optics (Fifth Edition). Agrawal, Govind ISBN: 978-0-12-397023-7, 2013.