Вычисление некоторых результантов и дискриминантов.

Введение

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время, пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципионадель Ферро, Никколо Тарталья и ДжероламоКардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов, было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году.Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов, корни уравнения всё же могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие специальные функции — эллиптические или гипергеометрические.([1],с.192)

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера.

Актуальность данной курсовой работы заключается в том, что решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта, нахождение корней уравнений с помощью схемы Горнера находит широкое применение в школе.

Объектом данной курсовой работы являются понятия «дискриминант, результант и кратные корни».

Предмет исследования – анализ теоретического материала.

Цель курсовой работы – исследование и анализ нахождения корней многочленов.

Задачи:

- раскрыть сущность понятий «дискриминант, результант и кратные корни»;

- рассмотреть свойства и способы вычисления дискриминантов и результантов;

- выявить связь между понятиями «дискриминант, результант и кратные корни многочленов»;

- рассмотреть способ нахождения кратных корней.

Глава 1. Дискриминанты и результанты многочленов

Результант.

Рассмотрим многочлены и , где и . Над алгебраически замкнутым полем многочлены и имеют общий делитель тогда и только тогда, когда они имеют общий корень. Если же поле не алгебраически замкнуто, то общий делитель может быть многочленом, не имеющим корней.([3],с.30)

Наличие у и общего делителя эквивалентно тому, что существуют такие многочлены и , что , причём и . Пусть и . Равенство можно записать в виде системы уравнений

………………………………………………..

Многочлены и имеют общий корень тогда и только тогда, когда эта система имеет ненулевое решение . Если, например, и , то определитель этой системы уравнений имеют вид
.

Матрицу называют матрицей Сильвестра многочленов и . Определитель матрицы называют результантом многочленов и ; результант многочленов и обозначают . Ясно, что – однородный многочлен степени по переменным и степени по переменным . Многочлены и имеют общий делитель тогда и только тогда, когда определитель рассматриваемой системы равен нулю, т. е. .

Результант имеет много разных приложений. Например, если заданы полиномиальные соотношения и , то с помощью результанта можно получить полиномиальное соотношение . В самом деле, рассмотрим данные полиномы и как полиномы от , считая и постоянными. Тогда результант этих полиномов даст требуемое соотношение .

Результант позволяет также сводить решение системы алгебраических уравнений к нахождению корней многочленов. В самом деле, пусть и . Рассмотрим и как многочлены от . При они имеют общий корень . Следовательно, их результант равен нулю при .([3],с.31)

Теорема 1. Пусть – корни многочлена , а – корни многочлена . Тогда

Доказательство. Так как , то , где – элементарная симметрическая функция. Аналогично . Результант является однородным многочленом степени по переменным и степени по переменным , поэтому

где – симметрический многочлен от и , обращающийся в нуль при . Формула

показывает, что

Подставив в это равенство , получим, что – нулевой многочлен. Аналогичные рассуждения показывают, что многочлен делится на .

Так как , то , а значит,

-однородный многочлен степени по переменным . Для переменных рассуждения аналогичны. Ясно также, что симметрический многочлен является многочленом от . Следовательно, , где – некоторое число. С другой стороны, коэффициент при у многочленов и равен , поэтому .

Следствие 1. .([3],с.32)

Следствие 2. Если , то

где - старший коэффициент многочлена .

Доказательство. Пусть - корни многочлена . Тогда .Остаётся воспользоваться тем, что и .

Следствие 3. .

Доказательство. Пусть - корни многочлена , а - его старший коэффициент. Тогда

Теорема 2. Пусть и . Тогда существуют многочлены и с целыми коэффициентами от переменных , для которых выполняется равенство

Доказательство. Пусть - столбцы матрицы Сильвестра и . Тогда , где – столбец (. Рассмотрим это равенство как систему линейных уравнений относительно и воспользуемся правилом Крамера, чтобы найти . В результате получим

(1)

Остаётся заметить, что , , а определитель, стоящий в правой части равенства (1), можно представить в требуемом виде. ([3],с.33)

Дискриминант.

Пусть - корни многочлена , причём . Величину называют дискриминантом многочлена .

Теорема 1. .

Доказательство. По теореме 1 пункта 1.1 , где – корни многочлена . Легко проверить, что . Поэтому

Замечание. Несложно показать, что

Следствие. Дискриминант является многочленом с целыми коэффициентами от коэффициентов многочлена .

Теорема 2. Пусть и - многочлены со старшим коэффициентом 1. Тогда

Доказательство. Пусть - корни многочлена , а - корни многочлена . Тогда

Вторая формула доказывается аналогично.

Теорема 3. Пусть – вещественный многочлен степени , не имеющий вещественных корней. Тогда .([3],с.34)

Доказательство. Воспользовавшись разложением

Легко проверить, что

Пусть и - пара сопряжённых корней многочлена , т.е.

Тогда

Ясно, что и . Поэтому . Требуемое утверждение теперь легко доказывается индукцией по .

Теорема 4. Пусть – многочлен с целыми коэффициентами. Тогда его дискриминант имеет вид или , где – целое число.

Доказательство. Пусть – корни многочлена . Тогда , где . Рассмотрим вспомогательную величину . Ясно, что – симметрическая функция от корней многочлена , поэтому – целое число. Кроме того,

где – симметрический многочлен от с целыми коэффициентами. Поэтому , где – целое число. Ясно также, что или . ([3],с.35)

Вычисление некоторых результантов и дискриминантов.

Пример 1. .

Доказательство. Воспользуемся тем, что

где – корни многочлена . В нашем случае и , а значит, .

Пример 2. .

Доказательство. Рассматриваемый многочлен удовлетворяет соотношению . Поэтому

Остаётся заметить, что .

Пример 3. Пусть . Тогда

Доказательство. Коэффициент при старшем члене многочлена равен 1, поэтому

где – корни многочлена .

Ясно, что .

Поэтому

Остаётся заметить, что .

Пример 4. Пусть и . Тогда

.([3],с.36)

Доказательство. Соотношение показывает, что если требуемое утверждение верно для пары , то оно верно и для пары .В самом деле, . Таким образом, можно считать, что .