Понятие корня и кратного корня.
Элемент называется корнем кратности многочлена , если делится без остатка на , но не делится на . Корень кратности 1 называется простым.([2],с.152)
Число корней многочлена степени не превышает даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.
Всякий многочлен с комплексными коэффициентамиимеетпо крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры).
Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени , учитывая кратные корни кратное количество раз, равно . При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен чётной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.[4]
Критерий кратности корней.
Теорема. Элемент является корнем многочлена кратности тогда и только тогда, когда и он является корнем кратности у производной многочлена .
Доказательство.
Необходимость. Пусть - корень кратности многочлена , тогда по определению , где не делится на . Применим теорему (для любых многочленов , и любого натурального справедливо равенство где обозначает ).
Отсюда имеем, что
Следовательно, делится на , но не делится на , так как не делится на .
Достаточность. Пусть и делится . Докажем, что – корень кратности многочлена . Предположим, что , где не делится на . Тогда
многочлен не делится на и, следовательно, является корнем кратности производной , откуда . ([2],с.152)
Любой многочлен может быть единственным образом разложен по степеням
Это легко доказывается индукцией по степени многочлена. Действительно, разделим на с остатком. Получим
,
где – остаток, – многочлен степени . В силу индуктивного предположения
,
откуда .
Опишем алгоритм для вычисления коэффициентов . Свободный член разложения есть остаток от деления на , есть остаток при делении неполного частного на , и вычисление последующих коэффициентов требует вычисления неполного частного при делении на . Далее, находится как остаток при делении на и т.д.
Красивые формулы для коэффициентов указывает следующая теорема.
Теорема(Тейлор). Любой многочлен степени можно представить в виде
.
Доказательство. Пусть
.
Продифференцируем раз обе части этого равенства. Используя правила дифференцирования, получаем, что
Полагая , имеем . ([2],с.153)
Схема Горнера.
Деление произвольного многочлена на двучлен может быть выполнено существенно проще, чем деление на произвольный многочлен.
Действительно, если нужно разделить многочлен
на двучлен , где , т.е. найти такие и , что , , и , естественно искать в форме . Тогда получим равенство
равносильное цепочке равенств
,
,
,
……………………
,
,
откуда последовательно определяются коэффициенты и остаток :
,
,
,
……………………
,
.
Заметим, что остаток равен значению многочлена при .
Действительно, переходя в равенстве к значениям при , получим , откуда .
Указанный способ вычисления коэффициентов частного и остатка носит название схемы Горнера.([2],с.154-155)
Пример 1. Разложить многочлен по степеням .
Применим схему Горнера.
32 | |||||
80 | |||||
80 | |||||
40 | |||||
10 | |||||
1 |
Остатки подчёркнуты.
Таким образом, .
Для приближённого вычисления корней многочлена бывает нужно найти одновременно и . Выполнить это можно при помощи схемы Горнера, вычислив два коэффициента разложения по степеням .
Пример 2.
Для многочлена вычислить и .
Применим схему Горнера.
-1 | -1 | ||
1,2 | 0,44 | -0,472 | |
2,4 | 3,32 |
Итак, и .
Список использованной литературы
1. «Теорема Абеля в задачах и решениях» – М.:МЦНМО,2001г.
2. Гашков С.Б. «Современная элементарная алгебра в задачах и упражнениях»– МЦНМО,2006.
3. Прасолов В.В. «Многочлены» – МЦНМО,2003. Издание третье, исправленное.
4. ru.wikipedia.org(12.12.13г.)