Проблема адекватности модели

Одной из центральных проблем в теории моделирования яв­ляется проблема адекватности модели и исследуемого объекта. Любая модель представляет собой упрощение реальной ситуа­ции. Хорошая модель учитывает существенные черты явления и, что не менее важно, игнорирует несущественные. В связи с этим возникает вопрос о выборе критериев для оценки адекватности модели, ее близости к оригиналу (эталону). Имеются два подхода к решению этой проблемы: сравнение поведения объекта и моде­ли (сигналов) и сравнение их структуры (параметров).

Согласно первому подходу (его можно назвать функцио­нальным) объект и модель считаются близкими, если с доста­точной точностью совпадает их поведение, т. е. близки реакции на одинаковые входные воздействия (рис. 1.1).

Такой подход обычно применяют для систем с неизвестным математическим описанием.

Согласно второму подходу (его можно назвать параметри­ческим) объект и модель считаются близкими, если совпадают (с заданной точностью) их параметры, например коэффициенты дифференциальных уравнений или другие численные характе­ристики. Параметрический подход удобен для объектов с извест­ным математическим описанием.

Если результаты моделирования подтверждаются экспери­ментально и могут служить основой для прогнозирования про­цессов, протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зави­сит от цели моделирования и принятых критериев.

Описанные подходы не эквивалентны и не сводятся друг к дру­гу, поскольку из близости параметров не следует, вообще говоря, близость реакций и обратно. Можно привести много примеров, когда поведение систем с близкими параметрами качественно различается или, наоборот, когда системы с сильно различаю­щимися параметрами ведут себя почти одинаково. Первая ситуа­ция характерна для значений параметров, близких к бифурка­ционным, вторая – для параметров с малыми коэффициентами чувствительности.

Предпочтительность того или иного подхода определяется спецификой предметной области и решаемой задачей. Методиче­ски оба подхода могут быть объединены в рамках теории инва­риантов. Суть анализа адекватности с помощью теории инвари­антов сводится к выявлению некоторых характеристик объекта, остающихся неизменными при нормальном функционировании. Далее эти характеристики (инварианты) используются в каче­стве прямых или косвенных критериев адекватности. Согласно сказанному выше инварианты могут быть двух типов – параме­тры (параметрические инварианты) и сигналы (сигнальные ин­варианты).

Виды моделей

Разнообразие моделей, применяемых в различных областях науки и техники, чрезвычайно велико. Их можно классифици­ровать по различным признакам.

С точки зрения сложности и степени детализации можно определить следующую иерархию моделей. На ее первом уровне находятся наиболее простые модели – вербальные или лингви­стические. В этих моделях причина со следствием связывается с помощью языковых средств. Лингвистические модели наиболее распространены в гуманитарных науках (филология, юриспру­денция) и ряде естественных наук (ботаника, биология). Второй уровень иерархии подразумевает введение формализованной структуры и предполагает задание моделей с помощью структур­ных, функциональных и принципиальных схем. Введение до­полнительных переменных – входных, выходных и внутренних сигналов, позволяет перейти к третьему уровню иерархии, вклю­чающему сетевые, графические, функционально-логические и информационные модели. На четвертом уровне иерархии рас­полагаются математические модели, обеспечивающие наибольший уровень детализации. Они отражают не только причинно-следственные связи, но и динамические свойства объектов, зада­ваемые в математической (аналитической) форме дифференци­альными и другими уравнениями.

Второй признак классификации моделей учитывает способ их реализации.

Первоначально в практике моделирования использовались три вида моделей – геометрические, математические и физиче­ские. Названные модели представляют собой конкретизацию общего определения модели, учитывающую тип соответствия объекта и модели.

1. Геометрические модели. Этот вид моделей отражает внеш­ние, наглядные стороны объекта и используется в основном для демонстрационных целей. Примерами могут служить модели ар­хитектурных сооружений, макеты кораблей, экспонаты выста­вок, туристские схемы, географические карты и т. п.

2. Математические модели. Этот вид моделей лишен внеш­него сходства с объектом, но отражает более глубокие свойства объекта, касающиеся его реакции на внешние воздействия. При математическом моделировании требуется сходство математи­ческих уравнений (обычно алгебраических или дифференциаль­ных), описывающих объект и модель. Именно этот вид моделей получил широкое распространение в вычислительной технике.

3. Физические модели. При физическом моделировании тре­буется более полное отражение свойств объекта: кроме внешнего сходства и одинакового математического описания модель и объ­ект должны иметь одинаковую физическую природу. Физиче­ские модели находят довольно широкое применение в технике. Достаточно назвать действующие макеты электростанций, про­дувку моделей самолетов в аэродинамических трубах, тренажер­ные комплексы, используемые при обучении пилотов и т. д.

Сопоставляя физические и математические модели, можно отметить следующее. Физические модели более наглядны, более полно отражают процессы, протекающие в исследуемом объекте, но имеют ограниченную область применения. Практически для каждой новой задачи приходится создавать новую физическую модель, что далеко не всегда удобно и экономически оправданно. Поэтому физические модели находят применение в тех случаях, когда производится многократное, в течение длительного време­ни исследование объектов одного класса.

Главным достоинством математических моделей является их универсальность, связанная с тем, что различные объекты, про­цессы и явления описываются одними и теми же математически­ми уравнениями. Поэтому, построив вычислительную машину, способную решать, например, дифференциальные уравнения, мы тем самым получаем возможность моделировать на ней ши­рокий круг процессов и явлений (физических, химических, тех­нических, экономических, социальных и пр.). Именно на этом пути были созданы вначале аналоговые, а затем цифровые вы­числительные машины.

На рис. 1.2 приведена классификация моделей по трем основ­ным признакам – назначению, области применения и способу реализации.

Левая ветвь классификации отражает деление моделей по их назначению (цели, решаемым задачам). Подобие процесса, протекающего в модели, реальному процессу является не целью, а условием правильного функционирования модели и поэтому в качестве цели должна быть поставлена задача изучения какой-либо стороны функционирования объекта или применения моде­ли в той или иной области человеческой деятельности.

Из нескольких десятков возможных целей на рисунке приве­дены лишь четыре.

Рис. 1.2. Классификация моделей

Гносеологические модели используются в науке для познания окружающего нас мира. По сути дела вся история развития нау­ки сводится к созданию тех или иных гносеологических моде­лей, их изучению и совершенствованию. Определяя гносеологи­ческую роль теории моделирования, т. е. ее значение в процессе познания, необходимо выделить то общее, что присуще моделям различных по своей природе объектов и явлений реального мира. Оно заключается в наличии некоторой структуры (статической или динамической, материальной или мысленной), которая по­добна структуре данного объекта. В процессе изучения модель выступает в роли относительно самостоятельного объекта, по­зволяющего получить при исследовании новые знания.

Исследовательские модели широко применяются в технике, медицине, физике и других науках. При конструировании но­вых технических устройств и исследовании новых технологиче­ских процессов применяют технологические модели. Например, прежде чем построить новую гидростанцию, сначала выполняют ее уменьшенную модель и проводят ее испытание.

Важное и все возрастающее значение имеют прогностические модели, которые используются для предсказания будущих со­бытий. Они широко применяются как инструмент принятия ре­шений в технике, политике, экономике, экологии, военном деле (прогноз погоды, прогнозирование курса акций, моделирование возможных сценариев развития событий).

Особое место в теории моделирования занимают кибернети­ческие модели, в которых отсутствует непосредственное подобие физических процессов реальным процессам. В этом случае стре­мятся отобразить лишь некоторую функцию и рассматривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируются некоторые связи между выходами и входами. Кибернетические модели используют в нейрофизиоло­гии, биологии, теории управления для получения математиче­ского описания объектов либо при создании устройств управле­ния, регуляторов и фильтров.

Назовем также использование моделей для контроля и диа­гностики технических устройств (контроль дублированием, диагностика на основе аналитической избыточности, избыточ­ное кодирование в теории информации). Из более экзотических применений укажем игровую функцию моделей (например, всем известные компьютерные игры типа «Цивилизация»), гедонистическую функцию (модели, создаваемые, чтобы доставлять наслаждение), обучающую функцию (модели в виде тренажеров, наглядных пособий).

В правой части рис. 1.2 показана классификация моделей по области применения. Перечень этих областей можно про­должать неограниченно (химия, социология, космонавтика, фи­лология, архитектура и т. д.).

В нижней части рис. 1.2 дано деление моделей по способу их реализации – это идеальные, материальные и компьютер­ные модели.

Идеальные модели не предполагают их физической реализа­ции, они существуют в виде мысленных образов (концепций), словесных описаний либо математических формул. Их располо­жение по степени содержательности иллюстрируется рис. 1.3. Наименьшей степенью формализации среди них характеризуют­ся вербальные и информационные модели, а наиболее содержа­тельными и информационно емкими являются математические и аналитические модели. Их в свою очередь можно классифици­ровать по сложности и степени адекватности к объекту.

Под математическим моделированием принято понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта (например, системы урав­нений), называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматри­ваемого реального объекта.

При имитационном моделировании алгоритм, реализую­щий модель, воспроизводит процесс функционирования систе­мы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структу­ры и последовательности протекания во времени. Это позволя­ет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Основным недостатком ими­тационного моделирования является то, что полученное реше­ние всегда носит частный характер, так как оно соответствует фиксированным элементам структуры и значениям параметров системы.

Рис. 1.3. Идеальные модели15

О возможностях различного материального воплощения моделей (см. рис. 1.2) уже говорилось. Кроме геометрических, физических и электрических моделей можно назвать механиче­ские, гидравлические, робототехнические, биологические и мно­гие другие.

Доминирующее положение сегодня занимают компьютерные (см. рис. 1.2). Вычислительные машины позволяют реализовы­вать имитационные, алгоритмические, математические и иные модели такой сложности, о которой ученые предыдущих поколе­ний могли только мечтать. Благодаря компьютерам появились и активно используются принципиально новые классы моделей, такие как нейросетевые модели, генетические модели и алгорит­мы, модели искусственного интеллекта с использованием нечет­ких множеств, баз данных и знаний. Компьютерные технологии реализации моделей образуют единый фундамент, на котором базируется современная дисциплина моделирования.

Приведенная классификация, безусловно, не является пол­ной. Она не учитывает, в частности, степень формализации моде­лей (полностью формализованные, частично формализованные, неформализованные). Не отражено деление на функциональные (бихевиористические) и структурные (анатомические) модели, не затронуты этические аспекты моделирования и др. В то же время ее можно углублять, более детально рассматривая отдель­ные виды моделей. В качестве примера ниже подробно рассма­триваются математические модели, ввиду их особой роли в тео­рии моделирования.