Задачи по «Математической статистике»

21. Выборка задана простым статистическим рядом:

Задания:

а) Составить точечный статистический ряд. Построить полигон. Найти статистическую функцию распределения, выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

b) Составить интервальный статистический ряд, взяв отрезок [4;16] и длину разбиения h =2. Построить гистограмму. Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

Решение.

а) 1. Точечный статистический ряд:

(n =2+3+8+7=20).

2. Полигон:

3. Статистическая функция распределения:

4. Выборочная средняя:

5. Выборочная дисперсия:

6. Выборочное среднее квадратическое отклонение:

b) 1. Интервальный статистический ряд:

2. Гистограмма:

3. Выборочная средняя:

4. Выборочная дисперсия:

22. Случайная величина распределена по показательному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице:

Найти точечную оценку параметра методом наибольшего правдоподобия.

Решение. 1) Составим функцию правдоподобия:

2) Решим уравнение

23. Найти доверительный интервалс надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины , если известны ее среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки n= 16.

Решение. По надежности из соотношения находим значение функции Лапласа: Ф(z)= 0,475.

По таблице значений функции Лапласа (см. Таблицу 2) находим z= 1,96. Используя неравенства для интервальной оценки математического ожидания, получаем

или

24. По данным выборки объема n= 25 найдено несмещенное значение выборочного среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины . Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения случайной величины.

Решение. На основании данных значений , n= 25 по таблице (см. Таблицу 3) находим значение q= 0,49. Подставляем в неравенства

откуда

25. Результаты взвешивания 50 случайным образом отобранных пачек чая приведены ниже (в граммах):

150, 147, 152, 148, 149, 153, 151, 149, 147, 153, 151, 152, 151, 149, 152, 150, 148, 152, 150, 152, 151, 148, 151, 152, 150, 151, 149, 148, 149, 150, 150, 151, 149, 151, 150, 151, 150, 149, 148, 147, 153, 147, 152, 150, 151, 149, 150, 151, 153.

Оценить закон распределения случайной величины - массы пачки чая – для уровня значимости

Решение. Масса пачки чая – непрерывная случайная величина, но в силу того, что взвешивание проведено с дискретностью 1 г и размах составляет 147 – 153 г, непрерывная величина может быть представлена точечным статистическим рядом:

Значение случайной величины	xi
Частота появления	mi

В качестве модели закона распределения выберем нормальный закон , число параметров которого r=2: – математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.

По выборочным данным получим оценки параметров нормального закона распределения:

Для расчета теоретических частот воспользуемся табличными значениями функции Лапласа Ф (z). Алгоритм вычисления состоит в следующем:

· находим по нормированным значениям случайной величины значения Ф (z), а затем

Например,

· находим

· находим и если некоторое , то соответствующие группы объединяются.

Результаты вычисления , и приведены в таблице.

Таблица

i	xi - xi+1	mi	Ф(zi)			=
	- -147		-0,50000	0,00000	0,03074	0,03074	1,537	-
	147-148		-0,46926	0,03074	0,10204	0,07130	3,563	0,237
	148-149		-0,39796	0,10204	0,24825	0,14621	7,31	0,730
	149-150		-0,25175	0,24825	0,46812	0,21987	10,99	0,813
	150-151		-0,03188	0,46812	0,69497	0,22685	11,34	0,010
	151-152		0,19497	0,69497	0,86650	0,17153	8,58	0,683
	152-153		0,36650	0,86650	0,95543	0,08893	4,45	2,794
	153-		0,45543	0,95543	1,00000	0,04457	2,23	-

По таблице (см. приложение 4) находим по схеме: для уровня значимости и числа степеней свободы

Следовательно, критическая область (7,8; ).

Величина 5,267 не входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина - масса пачки чая – подчинена нормальному закону распределения, согласуется с выборочными данными.