Среднеквадратичного приближения

Министерство образования московской области

Дмитровский государственный политехнический колледж

Курсовая работа

Дмитров

Г.

Содержание

Введение…………………………………………………………….3

1. Среднеквадратичного приближения ……………………....………….4

2. Вывод эмпирической формулы.………….……………………………6

3. Математические вычисления основных статистических характеристик………………………………………………………………7

4. Линейная и параболическая регрессии………………………………9

5. Полиномиальная регрессия…………………………………………...11

6.Заключение………………………………………………………………12

7.Список литературы…………………………………………………….13

Ведение

Теоретические вопросы, связанные с построением эмпирических зависимостей, а также математическая формулировка метода наименьших квадратов подробно изложены в параграфе 3 третьей главы данного пособия. Перед выполнением лабораторной работы рекомендуется прочитать указанный материал и ответить на вопросы для самоконтроля, приведенные в конце главы.

Здесь же мы рассмотрим, каким образом задача построения эмпирических зависимостей может быть решена в математическом пакете Mathcad.Современный Mathcad располагает достаточно богатым ассортиментом встроенных средств (функций) для построения линейных и нелинейных зависимостей по экспериментальным данным. Сочетание этих средств со встроенной системой визуализации данных (построения разнообразных графиков) делает Mathcad удобным инструментом, позволяющим исследователю-экспериментатору быстро проводить обработку полученных эмпирических данных. При этом важно отметить, что всегда имеется возможность непосредственной реализации вычислений по рассмотренным в третьей главе формулам метода наименьших квадратов

Пусть значения приближаемой функции f(x) заданы в N+1 узлах f(x₀),..., f(x_N). Аппроксимирующую функцию будем выбирать из некоторого параметрического семейства F(x, c), где c = (c₀,..., c_n)^T — вектор параметров, N > n.

Среднеквадратичного приближения

Принципиальным отличием задачи среднеквадратичного приближения от задачи интерполяции является то, что число узлов превышает число параметров. В данном случае практически всегда не найдется такого вектора параметров, для которого значения аппроксимирующей функции совпадали бы со значениями аппроксимируемой функции во всех узлах.

В этом случае задача аппроксимации ставится как задача поиска такого вектора параметров c = (c₀,..., c_n)^T, при котором значения аппроксимирующей функции как можно меньше отклонялись бы от значений аппроксимируемой функции F(x, c) в совокупности всех узлов.

Графически задачу можно представить так

Запишем критерий среднеквадратичного приближения для метода наименьших квадратов:

ПОМЕНЯТЬ ФОРМУЛЫЧЕРЕЗ ВСТАВКУ
J(c) = √ (Σ_i=0^N[f(x_i) — F(x, c) ]²) →min
Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию относительно коэффициентов аппроксимирующего многочлена. Она непрерывна и дифференцируема по c₀,..., c_n. Очевидно, что ее минимум находится в точке, где все частные производные равны нулю. Приравнивая к нулю частные производные, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных (искомых) коэффициентов многочлена наилучшего приближения.

Метод наименьших квадратов может быть применен для различных параметрических функций, но часто в инженерной практике в качестве аппроксимирующей функции используются многочлены по какому-либо линейно независимому базису { φ_k(x), k=0,...,n }:
F(x, c) = Σ_k=0ⁿ[c_kφ_k(x)].

В этом случае система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов будет иметь вполне определенный вид:
a₀₀c₀ + a₀₁c₁ +… + a_0nc_n = b₀
a₁₀c₀ + a₁₁c₁ +… + a_1nc_n = b₁
…
a_n0c₀ + a_n1c₁ +… + a_nnc_n = b_n

a_kj = Σ_i=0^N [φ_k(x_i)φ_j(x_i) ], b_j = Σ_i=0^N[f(x_i)φ_j(x_i) ]

Чтобы эта система имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А (определитель Грама) был отличен от нуля. Для того, чтобы система имела единственное решение необходимо и достаточно чтобы система базисных функций φ_k(x), k=0,...,n была линейно независимой на множестве узлов аппроксимации.

В этой статье рассматривается среднеквадратичное приближение многочленами по степенному базису { φ_k(x) = x^k, k=0,...,n }.

Вывод эмпирической формулы.

А теперь перейдем к примеру. Требуется вывести эмпирическую формулу для приведенной табличной зависимости f(х), используя метод наименьших квадратов.

Примем в качестве аппроксимирующей функцию
y = F(x) = c₀ + c₁x + c₂x², то есть, n=2, N=4

Система уравнений для определения коэффициентов:
a₀₀c₀ + a₀₁c₁ +… + a_0nc_n = b₀
a₁₀c₀ + a₁₁c₁ +… + a_1nc_n = b₁
…
a_n0c₀ + a_n1c₁ +… + a_nnc_n = b_n
a_kj = Σ_i=0^N[φ_k(x_i)φ_j(x_i) ], b_j = Σ_i=0^N[f(x_i)φ_j(x_i) ]
Коэффициенты вычисляются по формулам:
a₀₀ = N + 1 = 5, a₀₁ = Σ_i=0^Nx_i = 11,25, a₀₂ = Σ_i=0^Nx_i² = 30,94
a₁₀ = Σ_i=0^Nx_i = 11,25, a₁₁ = Σ_i=0^Nx_i² = 30,94, a₁₂ = Σ_i=0^Nx_i³ = 94,92
a₂₀ = Σ_i=0^Nx_i² = 30,94, a₂₁ = Σ_i=0^Nx_i³ = 94,92, a₂₂ = Σ_i=0^Nx_i⁴ = 303,76
b₀ = Σ_i=0^Ny_i = 11,25, b₁ = Σ_i=0^Nx_iy_i = 29, b₂ = Σ_i=0^Nx_i²y_i = 90,21

Решаем систему уравнений и получаем такие значения коэффициентов:
c₀ = 4,822, c₁ = -3,882, c₂ = 0,999

Таким образом
y = 4,8 — 3,9x + x²
График получившейся функции