Вычисление определителей

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Методические указания и контрольные задания для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения

Составители: О.Е. Лаврусь

А.Ю. Сеницкий

Е.Н. Бесперстова

Самара

2008

УДК 512.64

Линейная алгебра: методические указания и контрольные задания для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения. – Самара: СамГУПС, 2008. – 56 с.

Утверждено на заседании кафедры «Высшая математика» 05.12.2007г., протокол №3.

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.

Сборник составлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике и охватывает раздел общего курса: дифференциальное исчисление.

Предназначен для студентов всех специальностей.

Составители: к.т.н., доцент Ольга Евгеньевна Лаврусь

к.ф.-м.н. Александр Юрьевич Сеницкий

ст. преп. Елена Николаевна Бесперстова

Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики и информатики СамГТУ Е.Н. Огородников;

к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики СамГУПС

Ф.С. Миронов

Под редакцией В.А. Герасимова

Компьютерная верстка Р.Р. Абрамян

Подписано в печать29.05.2008. Формат 60х84 1/16.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 3,5.

Тираж 500 экз. Заказ № 88.

I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определение и свойства определителя

Определителем -го порядка называется число , записываемое в виде квадратной таблицы:

Здесь - элемент определителя,

где - номер строки,

- номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Любую строку или столбец определителя также называют рядом.

Порядок определителя равен числу строк или столбцов, из которых он состоит.

Элементы образуют главную диагональ, другая диагональ называется побочной.

Основные свойства

1) Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;

2) Если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя;

3) Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю

Например ;

4) Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю;

5) Значение определителя не изменится, если поменять все строки на соответствующие столбцы и наоборот

Например ;

6) Если поменять местами два параллельных ряда определителя, то он изменит свой знак

Например

(поменяли местами 1-й и 3-й столбцы);

7) Величина определителя не изменяется, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ему ряда, умноженные на одно и то же число.

Вычисление определителей

Вычисление определителей зависит от порядка определителя. Рассмотрим вычисление определителя второго порядка:

т.е. определитель второго порядка равен произведению элементов, находящихся на главной диагонали минус произведение элементов, находящихся на побочной диагонали.

Вычисление определителей третьего порядка можно произвести различными способами. Рассмотрим их подробнее с наглядными примерами. Подчеркнем, что первые три способа относятся к вычислению определителей только III-го порядка.

1 способ. По определению (по правилу треугольников).

Рассмотрим сначала в общем виде:

Схематическая запись этого правила выглядит следующим образом:

+ –

2 способ. По правилу Саррюса.

Схематически:

–

В результате этот способ сводиться к подсчету по определению, т.е. к I способу.

3 способ. По правилу Фридерищева.

4 способ. Вычисление определителя с помощью разложения по элементам ряда.

Если первые три способа относятся к вычислению определителей только третьего порядка, то этот способ и следующие применимы и к определителям третьего и выше порядков.

Итак, определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения:

Введем новые понятия:

здесь - это алгебраические дополнения, каждое из которых соответствует элементу, т.е. соответствует элементу , элементу .

Алгебраические дополнения определяются по формуле:

где - минор, также соответствующий элементу.

Минором элемента называется определитель -го порядка , полученный из определителя -го порядка вычеркиванием -й строки и -го столбца (на пересечении которых стоит элемент).

5 способ. Вычисление определителя методом обнуления элементов какого-либо ряда.

В этом способе используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.

6 способ. Приведение определителя к треугольному виду.

В этом способе также используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.

Пример 1.1.

Вычислить определитель третьего порядка:

1 способ. По определению:

2 способ. По правилу Саррюса:

3 способ. По правилу Фридерищева:

Способ.

а). Разложив по элементам третьей строки:

б). Разложив по элементам второго столбца:

Способ.

а). Получив нули в третьем столбце.

Когда получают нули в столбце, то работают со строчками. Схематически будем работать так:

Это означает, что элементы первой строки умножим на и сложим с соответствующими элементами второй строки, затем элементы первой строки умножим на 5 и сложим с соответствующими элементами третьей строки.