РЕФЕРАТ
По курсу «Математические методы обработки данных»
На тему: «Математика и музыка»
Выполнила: студентка 2 курса, очной
формы обучения, группы ИНО-19-1
Кириллова Елизавета Александровна Научный руководитель: старший преподаватель кафедры МиМО
Елизарова Екатерина Юрьевна
Н. Новгород
Содержание
1) Введение……………………………………………………3
2) §1. История исследования математики и музыки……….4
3) §2. Связь между звуками и числами………………………6
4) §3. Исследования музыкальных произведений……….9
5) Заключение…………………………………………………14
Введение:
Математика - наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.
Музыка - вид искусства, отражающий действительность и воздействующий на человека, посредством осмысленных и особым образом организованных по высоте и во времени звуковых последований, состоящих в основном из тонов.
Казалось бы, музыка - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.
Например, школьники, занимающиеся в музыкальных школах, заметно лучше справляются с математическими или языковыми экзаменами и тестами, чем остальные сверстники. Об этом пишут ученые, опубликовавшие результаты масштабных наблюдений за старшеклассниками в Journal of Educational Psychology.
Целью данной работы является изучение связи математики и различные сферы музыки.
Задачи работы:
1. Выяснить, были ли в истории попытки связать музыку с математикой.
2. Выявить общие элементы между звуками и числами;
3. Отыскать преимущество применения законов математики в написании музыки.
История исследования математики и музыки.
"Уроки музыки и искусств часто отодвигаются на самый задний план и финансируются по остаточному принципу, так как чиновники считают, что они мешают детям осваивать математику, естественные науки и язык. Мы показали, что это не так – чем больше дети занимались музыкой, тем лучше они учились", — рассказывает Питер Гузуасис (Peter Gouzouasis) из университета Британской Колумбии (Канада).
В прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку как один из объектов изучения математики. Одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета - музыку и математику. Музыка, как одно из семи видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.
Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга.
При знакомстве с музыкальной эстетикой средневековья необходимо иметь в виду, что в то время музыка понималась не как искусство, a как наука.
Известно, что музыка входила в состав семи "свободных искусств",
делившихся на "trivium" (грамматика, риторика, логика) и "quadrivium"
(арифметика, геометрия, астрономия, музыка). Характерно, что музыка
относилась именно к сфере математических знаний. Тем самым она
признавалась одной из математических дисциплин, одной из отраслей
математики. И как таковая она понималась, прежде всего, как наука о числах.
В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем к примеру одну из цитат из работы Леонарда Эйлера "Диссертация о звуке", написанная в 1727 году. "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков". Свое отношение к математике и музыки ученые высказывались в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". На что Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики".
Одним из достижений Пифагора и его последователей математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента – лиры. Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» неодинаковые. Он – неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз нужно было перенастраивать.
В основе этой музыкальной системы положены законы, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архата. Вот эти три закона:
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l.w = a: l,где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.
3. Если в качестве цены деления шкалы монохорда взять отрезок l, равный 1/12 длины струны монохорда l1, то вместе со всей струной монохорда длины 11 = 12l будут созвучны ее части длины l2 = 6l — звук на октаву выше (l2/l1 = 1/2), 13 = 91 — звук на квинту выше (l3/l1=2/3) и l4= 81 — звук на кварту выше (l4/l1=3/4). Это созвучие и определяющие его числа 6, 8, 9, 12 назывались тетрада (четверка).
Так же Архит пришёл к нескольким важнейшим математическим выводам, которые стали основой древнегреческой музыки:
квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2, а кварта — среднее арифметическое l1 и l2. Интервал, дополняющий данный интервал до октавы, называется его обращением. Тон-интервал равен отношению квинты к кварте.