Дифференциальное уравнение электромагнитной волны

Одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является существование электромагнитных волн.

Из уравнений Максвелла следует,

1. Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, векторы напряженностей и переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа :

, , (1, 2)

Где - оператор Лапласа, υ – фазовая скорость.

Всякая функция, удовлетворяющая этим уравнениям, описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн.

1. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением

, (3)

Где - скорость электромагнитных волн в вакууме,

ε₀, μ₀- электрическая и магнитная постоянные,

ε, μ- электрическая и магнитная проницаемость среды.

· В вакууме (при ε = 1 и μ = 1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с.

· В веществе εμ > 1, поэтому скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по формуле (3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость ε и μ, от частоты.

Совпадение же размерного коэффициента в (3) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.

3. Следствием теории Максвелла является также поперечность электромагнитных волн: векторы и напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис. 229 показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору υскорости распространения волны, причем векторы , и образуют правовинтовую систему.

В фиксированной точке пространства векторы и изменяются со временем по гармоническому закону:

· t= 0. оба вектора одновременно увеличиваются от нуля

· t= ¼T. через ¼ периода достигают наибольшего значения: если направлен вверх, то направлен вправо (смотрим вдоль направления распространения волны);

· t= ½ T .через ¼ периода оба вектора одновременно обращаются в нуль.

· t= ¾ T .через ¼ периода достигают наибольшего значения, но теперь: если направлен вниз, то направлен влево.

· t= T. По завершении периода оба вектора обращаются в нуль.

Такие изменения векторов и происходят во всех точках пространства, но со сдвигом по фазе, определяемым расстоянием между точками, отсчитанными вдоль оси х.

4. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы и всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 229), причем мгновенные значения E Н влюбой точке связаны соотношением

(4)

Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль. От уравнений (1) можно перейти к уравнениям

, , (5, 6)

где соответственно индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z.

Уравнениям (5) и (6) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

, (7, 8)

где Е₀ и Н₀ — соответственно а мплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; ω — круговая частота волны; k - волновое число;

φ — начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0.

В уравнениях (7) и (8) φ одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковых фазах.