Теорией случайных процессов называется математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений в динамике их развития.

ЛЕКЦИЯ

(22)

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Теорией случайных процессов называется математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений в динамике их развития.

При изучении явлений окружающего мира мы постоянно сталкиваемся с процессами, течение которых заранее невозможно предсказать. Эта неопределённость (непредсказуемость) вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процессов.

Примеры случайных процессов:

· напряжение в электросети,

· число студентов в аудитории,

· население города (или области) меняется с течением времени случайным (непредсказуемым) образом под влиянием таких факторов, как рождаемость, смертность, миграция и т.д.,

· уровень воды в реке (или в водохранилище) меняется во времени случайным образом в зависимости от погоды, количества осадков, таяния снега, интенсивности оросительных мероприятий и т.д.,

· частица, совершающая броуновское движение в поле зрения микроскопа, меняет свое положение случайным образом в результате соударений с молекулами жидкости,

· атмосферное давление или температура в этой аудитории как функции времени являются случайными процессами.

Случайные процессы находят широкое применение при изучении сложных стохастических систем как адекватные математические модели процесса функционирования таких систем.

Строго говоря, в природе не существует совершенно неслучайных, в точности детерминированных процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что при изучении яв­ления ими можно пренебречь (пример: процесс обращения планет вокруг Солнца). Однако, существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль (например, процесс броуновского движения частицы). Между двумя крайними случаями лежит целый спектр процессов, в которых случайность играет большую или меньшую роль. Учитывать (или не учитывать) случайность про­цесса зависит также и от того, какую практическую задачу приходится решать. Например, при составлении расписания движения самолетов между двумя пунктами можно считать их траектории прямолинейными, а движение — равномерным; те же допущения не подойдут, если решается задача конструирования автопилота для управления полетом самолета.

Основными понятиями для случайных процессов являются понятия состояния процесса и перехода его из одного состояния в другое.

Случайный процесс, протекающий в любой физической системе, представляет собой случайные переходы системы из состояния в состояние. Состояние системы может быть охарактеризовано с помощью каких-то численных переменных; в простейшем случае — одной, а в более сложных — нескольких.

Значения переменных, которые описывают случайный процесс, в данный момент времени называются состоянием случайного процесса. Случайный процесс совершает переход из одного состояния в другое, если значения переменных, задающих одно состояние, изменяются на значения, которые определяют другое состояние.

Число возможных состояний (пространство состояний) случайного процесса может быть конечным или бесконечным.

Если число возможных состояний конечно или счетно (всем возможным состояниям могут быть присвоены порядковые номера), то случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями. Например, число покупателей в магазине, число клиентов в банке в течение дня описываются случайными процессами с дискретными состояниями.

Если переменные, описывающие случайный процесс, могут принимать любые значения из конечного или бесконечного непрерывного интервала, а, значит, число состояний несчетно, то случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями. Например, температура воздуха в течение суток является случайным процессом с непрерывными состояниями.

Для случайных процессов с дискретными состояниями характерны скачкообразные переходы из одного состояния в другое, тогда, как в процессах с непрерывными состояниями переходы являются плавными.

Понятие случайного процесса представляет собой обобщение понятия случайной величины.

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.