Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности

По виду гистограммы, значениям коэффициентов асимметрии и эксцесса можно предположить, что случайная величина имеет нормальное распределение.

Выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

Оценка числовых характеристик и параметров закона распределения.

Выборочное среднее – несмещенная и состоятельная оценка математического ожидания.

Исправленная выборочная дисперсия – несмещенная и состоятельная оценка дисперсии.

Выдвинута гипотеза о распределении генеральной совокупности Х по нормальному закону с плотностью , или , где

Найдем оценки параметров a и теоретического закона.

,

.

Заменяя a, оценками, получаем теоретический закон распределения

.

Так как для случайной величины, имеющей нормальное распределение, функцию плотности можно представить в виде , где , то для нашего случая имеем: .

Нахождение доверительного интервала для математического ожидания

Полагая, что генеральная совокупность Х имеет нормальное распределение, построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении.

В курсе математической статистики доказывается, что случайная величина Т в случае выборки из нормальной совокупности, имеет распределение Стьюдента c (n –1)-й степенью свободы, не зависящее от параметров генеральной совокупности. Доверительный интервал с выбранной надежностью , покрывающий математическое ожидание, будет иметь вид . Для нахождения точности оценки значение определяется по таблице распределения Стьюдента по заданной надежности и по числу степеней свободы k = (n – 1).

Построим 95% доверительный интервал для оценки математического ожидания. Тогда имеем = 0,95, число степеней свободы k = 51-1=50, уровень значимости α=1– =0,05. По таблице распределения Стъюдента находим =2,009. Точность оценки .

Получаем доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности:

Окончательно имеем (2,228; 2,972).

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона.

В качестве меры расхождения между статистическим и гипотетическим (теоретическим) распределениями возьмем критерий Пирсона К = χ².

Мера расхождения в этом критерии определяется равенством: где n – объем выборки (у нас n =51); n_i – эмпирические частоты (число элементов в i -ом интервале); K – число интервалов (у нас K =7); P_i – теоретические вероятности попадания значений случайной величины в i -ый интервал, – теоретические частоты.

Найдём теоретические вероятности P_i, подставив , .

i
	-1,98	0,0562	0,0429	0,0429
	-1,22	0,1895	0,1447	0,1447
	-0,46	0,3589	0,2740	0,2740
	0,31	0,3802	0,2902	0,2902
	1,07	0,2251	0,1718	0,1718
	1,83	0,0748	0,0571	0,0571
	2,60	0,0136	0,0104	0,0104
				0,9911

Дальнейшие вычисления, необходимые для определения расчетного значения выборочной статистики , проведем в таблице 5.

Таблица 5

	0,0429	0,1447	0,274	0,2902	0,1718	0,0571	0,0104
=51	2,1879	7,3775	13,9724	14,8017	8,7634	2,9121	0,5295

В рассматриваемом эмпирическом распределении имеются частоты, меньшие 5. При использовании критерия Пирсона такие интервалы целесообразно объединять с соседними. После объединения интервалов с низкой степенью частоты получим вспомогательную таблицу 6.

Таблица 6

	9,5654	13,9724	14,8017	12,205	50,5445
()2	0,1889	0,9456	1,4359	0,0420
	0,0197	0,0677	0,0970	0,0034

Случайная величина χ² (мера расхождения) независимо от вида закона распределения генеральной совокупности при (n ≥ 50) имеет распределение χ² с числом степеней свободы r=k–l –1, где k – число интервалов после объединения; l – число параметров распределения, определенных по выборке.

В нашем примере k = 4, l = 2 (так как функция плотности распределения зависит только от двух параметров a и ), r = 4-2-1=1.

Зададим уровень значимости α=0,05 и найдем по таблице значений χ² критическое значение для α=0,05 и r =1. Имеем 3,8. Так как , то предполагаемая гипотеза о нормальном законе распределения генеральной совокупности не противоречит опытным данным и принимается на уровне значимости α.