Варианты
0. 
1. 
. 
.
2. 
.
3. 
4. 
.
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
2. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНОМ ЛАГРАНЖА
Постановка задачи. Пусть величина у является функцией аргумента х. Это означает, что любому значению х из области определения поставлено в соответствие значение у. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между у и х, т.е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости 
. В некоторых случаях даже при известной зависимости она настолько громоздка (например, содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.), что её использование в практических расчетах затруднительно.
Наиболее распространенным и практически важным случаем, когда вид связи между параметрами х и у неизвестен, является задание этой связи в виде некоторой таблицы 
. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента 
поставлено в соответствие множество значений функции 
Эти значения - либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике нам могут понадобиться значения величины у и в других точках, отличных от узлов 
. Таким образом, необходимо использовать имеющиеся табличные данные для приближенного вычисления искомого параметра 
при любом значении (из некоторой области) определяющего параметра 
, поскольку точная связь 
неизвестна.
Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию 
требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией 
так, чтобы отклонение (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей.
Для практики весьма важен случай аппроксимации функции многочленом
(4)
При этом коэффициенты 
будут подбираться так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции.
Одним из основных типов аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строим многочлен (4), принимающий в заданных точках 
те же значения 
что и функция , т.е.
(5)
При этом предполагается, что среди значений 
нет одинаковых, т.е. 
при 
Точки называются узлами интерполяции, а многочлен 
- интерполяционным многочленом.
Пусть функция определена таблицей
|
| 
| 
| … | 
|
|
| 
| 
| … | 
|
Задачей интерполяции является построение многочлена 
, значения которого в узлах интерполяции { xi } равны соответствующим значениям заданной функции, т.е.
=yi (i =0,1,…, n).
Интерполяционной формулой Лагранжа называется формула, представляющая многочлен в виде
, (6)
где 
- многочлен степени n, принимающий значение, равное единице в узле 
, и равные нулю значения в остальных узлах 
( 
), (i,k =0,1,…, n). Многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Следует отметить, что степень многочлена Лагранжа не превышает числа n. определяется по следующей формуле
. (7)
Пример. Для функции, заданной таблицей, построить интерполяционный многочлен Лагранжа.
|
| -1 | ||
|
|
Решение. Многочлен Лагранжа для трех узлов интерполирования запишется так:
Применяя формулу Лагранжа, получим
После элементарных преобразований получаем интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени 
.
Задание 2
Для функции ,заданной таблицей, построить интерполяционный многочлен Лагранжа.
Варианты
0.
|
| 2.5 | 3.0 | 3.5 | 4.0 |
|
| 1.4981 | 1.4675 | 1.4323 | 1.3931 |
1.
|
| 0.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 |
|
| 1.5708 | 1.5738 | 1.5828 | 1.5981 | 1.62 |
2.
|
| 2.5 | 3.0 | 3.5 | 4.0 |
|
| 1.649 | 1.6858 | 1.7313 | 1.7868 |
3.
|
| 0.3 | 0.4 | 0.50 | 0.6 | 0.7 |
|
| 0.29131 | 0.37995 | 0.46212 | 0.53705 | 0.60437 |
4.
|
| 0.8 | 0.9 | 1.0 |
|
| 0.66404 | 0.7163 | 0.76159 |
5.
|
| 0.0 | 0.5 | 1.0 | 1.05 | 2.0 |
|
| 1.5708 | 1.5678 | 1.5589 | 1.5442 | 1.5238 |
6.
|
| 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 |
|
| 0.11246 | 0.2227 | 0.32863 | 0.42839 | 0.5205 |
7.
|
| 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 |
|
| 0.17469 | 0.35031 | 0.52773 | 0.70765 | 0.89054 |
8.
|
| 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
|
| 1.07657 | 1.26548 | 1. 45663 | 1.649 |
9.
|
| 0.60 | 0.65 | 0.70 | 0.75 | 0.80 |
|
| 0.912 | 0.897 | 0.881 | 0.864 | 0.846 |