Для выполнения задания выбрать вариант, соответствующий номеру студента в списке в зачетной или экзаменационной ведомостях. При выполнении задания необходимо использовать методику расчета, приведенную в разделе 3.7 настоящего пособия. При выполнении задания ручным способом ограничиться графическими методами анализа и определением и выделением тренда в исходном временном ряду. Выводы аргументировать.
Задание 2. Прогнозирование динамики экономических процессов
методами анализа временных рядов
В таблице 2 приведены данные продаж продовольственных товаров в магазине. Разработать модель продаж и провести прогнозирование объема продаж на первые 6 месяцев 2006 года. Выводы обосновать.
Таблица 2
Объем продаж продовольственных товаров с 1 января 2006 г.
в относительных единицах
| Дата | ||||||||||||||||
| 1/1/93 | ||||||||||||||||
| 1/2/93 | ||||||||||||||||
| 1/3/93 | ||||||||||||||||
| 1/4/93 | ||||||||||||||||
| 1/5/93 | ||||||||||||||||
| 1/6/93 | ||||||||||||||||
| 1/7/93 | ||||||||||||||||
| 1/8/93 | ||||||||||||||||
| 1/9/93 | ||||||||||||||||
| 1/10/93 | ||||||||||||||||
| 1/11/93 | ||||||||||||||||
| 1/12/93 | ||||||||||||||||
| 1/1/94 | ||||||||||||||||
| 1/2/94 | ||||||||||||||||
| 1/3/94 | ||||||||||||||||
| 1/4/94 | ||||||||||||||||
| 1/5/94 | ||||||||||||||||
| 1/6/94 | ||||||||||||||||
| 1/7/94 | ||||||||||||||||
| 1/8/94 | ||||||||||||||||
| 1/9/94 | ||||||||||||||||
| 1/10/94 | ||||||||||||||||
| 1/11/94 | ||||||||||||||||
| 1/12/94 | ||||||||||||||||
| 1/1/95 | ||||||||||||||||
| 1/2/95 | ||||||||||||||||
| 1/3/95 | ||||||||||||||||
| 1/4/95 | ||||||||||||||||
| 1/5/95 | ||||||||||||||||
| 1/6/95 | ||||||||||||||||
| 1/7/95 | ||||||||||||||||
| 1/8/95 | ||||||||||||||||
| 1/9/95 | ||||||||||||||||
| 1/10/95 | ||||||||||||||||
| 1/11/9 |
Список литературы к задачам:
1. Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой М. «Финансы и статистика» 2005г.
2. Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой М. «Финансы и статистика» 2005г.
3. Эконометрика: Начальный курс. Катышев П.К. Магнус Я.Р. Пересецкий А.А. М: Дело, 1998г.
4. Практикум по эконометрике: Начальный курс. Катышев П.К. Магнус Я.Р. Пересецкий А.А. М: Дело, 1998г.
5. Введение в эконометрику. Доугерти К. М. «Финансы и статистика».
6. Ефимова М.Р. Петрова Е.В. Румянцев В.Н. и др. Общая теория статистики.: Учебник. – М.: Инфа – М,1998.
7. Елисеева И.И. Юзбашев М.М. Общая теория статистики.: Учебник. – 4-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2005 г.
8. Крамер Теория вероятностей и математическая статистика.
9. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика.
10. Общая теория статистики: Учебник/ под ред. А.А Спирина, О.Э. Башиной – 5-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 1999.
Контрольные задания для студентов
заочной формы обучения
Тема 1. Предмет эконометрики.
1. Сущность эконометрики как науки.
2. Эконометрический метод.
Тема 2-3. Парная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях.
Задача.
Приведены данные по регионам за 2005 год зависимости заработной платы от прожиточного минимума (в у.е.):
| Номер региона | Прожиточный минимум, х | Заработная плата, у |
1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации.
3. Вычислить факторную и остаточную дисперсию, на основе распределения Фишера сделать вывод о статистической значимости полученных результатов.
4. С помощью распределения Стьюдента определить доверительные интервалы вычисленных значений коэффициентов линейной регрессии.
Тема 4. Многофакторный регрессионный анализ.
1. Проблема мультиколлинеарности.
2. Фиктивные переменные.
3. Предпосылки метода наименьших квадратов.
4. Гетероскедактичность.
Тема 5. Системы эконометрических уравнений.
1. Типы систем эконометрических уравнений.
2. Проблема идентифицируемости.
3. Косвенный метод наименьших квадратов.
4. Двухшаговый метод наименьших квадратов.
5. Путевой анализ
Тема 6. Временные ряды и прогнозирование.
1. Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов.
2. Метод скользящих средних.
3. Методы исключения тренда.
4. Автокорреляция и автокорреляция в остатках.
5. Критерий Дарбина – Уотсона.
Тема 7. Динамические эконометрические модели.
1. Понятие лага.
2. Лаги Алмон и метод Койка.
3. Метод адаптивных ожиданий.
4. Метод неполной коррекции.
Задачи для самостоятельного решения
ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание:
В задачах 1.1 – 1.15 на основе приведенных данных требуется:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оцените с помощью F- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости 
8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.
Варианты заданий.
1.1 Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам (табл. 1).
Таблица 1.
| Показатель (материалоемкость продукции по заводам) | Потреблено материалов на единицу продукции, кг | Выпуск продукции, тыс. ед. |
| 3,7 | ||
| 3,6 | ||
| 3,5 | ||
| 3,5 |
1.2 По территориям Центрального района известны данные за 1995 г. (табл. 2)
Таблица 2.
| Район | Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода, %, у | Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс. руб., х |
| Брянская обл. | 6,9 | |
| Владимирская обл. | 8,7 | |
| Ивановская обл. | 6,4 | |
| Калужская обл. | 8,4 | |
| Костромская обл. | 6,1 | |
| Орловская обл. | 9,4 | |
| Рязанская обл. | ||
| Смоленская обл. | 6,4 | |
| Тверская обл. | 9,3 | |
| Тульская обл. | 8,2 | |
| Ярославская обл. | 8,6 |
1.3 По территориям Центрального района известны данные за 1995 г. (табл. 3)
Таблица 3.
| Район | Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс. руб,.у | Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс. руб., х |
| Брянская обл. | ||
| Владимирская обл. | ||
| Ивановская обл. | ||
| Калужская обл. | ||
| Костромская обл. | ||
| Г. Москва | ||
| Орловская обл. | ||
| Рязанская обл. | ||
| Смоленская обл. | ||
| Тверская обл. | ||
| Тульская обл. | ||
| Ярославская обл. |
1.4 По территориям Центрального и Волго-Вятского районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 4).
Таблица 4.
| Район | Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., у | Прожиточный минимум в среднем на душу населения, тыс. руб., х |
| Центральный | ||
| Брянская обл. | ||
| Владимирская обл. | ||
| Ивановская обл. | ||
| Калужская обл. | ||
| Костромская обл. | ||
| Орловская обл. | ||
| Рязанская обл. | ||
| Смоленская обл. | ||
| Тверская обл. | ||
| Тульская обл. | ||
| Ярославская обл. | ||
| Волго-Вятский | ||
| Респ. Марий Эл | ||
| Респ. Мордовия | ||
| Чувашская респ. | ||
| Кировская обл. | ||
| Нижегородская обл. |
1.5 По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 5).
Таблица 5.
| Район | Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у | Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х |
| Волго-Вятский | ||
| Респ. Марий Эл | ||
| Респ. Мордовия | ||
| Чувашская респ. | ||
| Кировская обл. | ||
| Нижегородская обл. | ||
| Центрально-Черноз. | ||
| Курская обл. | ||
| Липецкая обл. | ||
| Тамбовская обл. | ||
| Белгородская обл. | ||
| Воронежская обл. | ||
| Поволжский | ||
| Респ. Калмыкия | ||
| Волгоградская обл. | ||
| Саратовская обл. | ||
| Ульяновская обл. | ||
| Респ. Татарстан | ||
| Пензенская обл. | ||
| Астраханская обл. |
1.6 По территориям Северного, Северо-Западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 6).
Таблица 6.
| Район | Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., у | Денежные доходы на душу населения, тыс. руб., х |
| Северный | ||
| Респ. Карелия | ||
| Респ. Коми | ||
| Архангельская обл. | ||
| Вологодская обл. | ||
| Мурманская обл. | ||
| Центральный | ||
| Брянская обл. | ||
| Владимирская обл. | ||
| Ивановская обл. | ||
| Калужская обл. | ||
| Костромская обл. | ||
| Московская обл. | ||
| Орловская обл. | ||
| Рязанская обл. | ||
| Смоленская обл. | ||
| Тверская обл. | ||
| Тульская обл. | ||
| Ярославская обл. | ||
| Северо-Западный | ||
| Ленинградская обл. | ||
| Новгородская обл. | ||
| Псковская обл. |
1.7 По территориям Восточно-Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 7).
Таблица 7.
| Район | Потребительские расходы на душу населения тыс. руб., у | Денежные доходы на душу населения руб., х |
| Восточно-Сибирский | ||
| Респ. Бурятия | ||
| Респ. Тыва | ||
| Респ. Хакасия | ||
| Красноярский край | ||
| Иркутская обл. | ||
| Усть-Ордынский Бурятский авт. округ | ||
| Читинская обл. | ||
| Дальневосточный | ||
| Якутия | ||
| Еврейская авт. Обл. | ||
| Чукотский авт. округ | ||
| Приморский край | ||
| Хабаровский край | ||
| Амурская обл. | ||
| Камчатская обл. | ||
| Магаданская обл. | ||
| Сахалинская обл. |
1.8 По территориям Восточно-Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997 г.(табл. 8).
Таблица 8.
| Район | Потребительские расходы на душу населения тыс. руб., у | Денежные доходы на душу населения тыс. руб., х |
| Уральский | ||
| Респ. Башкорстан | ||
| Удмуртская Респ. | ||
| Курганская обл. | ||
| Пермская обл. | ||
| Свердловская обл. | ||
| Челябинская обл. | ||
| Западно-Сибирский | ||
| Респ. Алтай | ||
| Алтайский край | ||
| Кемеровская обл. | ||
| Новосибирская обл. | ||
| Омская обл. | ||
| Томская обл. | ||
| Тюменская обл. |
1.9 В табл. 9 представлены расходы на агрегированное потребление У и агрегированный располагаемый доход Х в некоторой национальной экономике в течение 12 лет – с 1986 по 1997 г.
Таблица 9.
| Год | t | Yt | Xt | Год | t | Yt | Xt |
1.10 Так называемая кривая Филипса описывает связь темпа роста зарплаты и уровня безработицы. А именно,
где 
- уровень заработной платы, 
- темп роста заработной платы в (процентах) и 
- процент безработных в год t.
Используйте данные для некоторой страны из табл. 10
Таблица 10.
| Год t | wt | ut | Год t | wt | ut |
| 1,62 | 1,0 | 2,66 | 1,8 | ||
| 1,65 | 1,4 | 2,73 | 1,9 | ||
| 1,79 | 1,1 | 2,8 | 1,5 | ||
| 1,94 | 1,5 | 2,92 | 1,4 | ||
| 2,03 | 1,5 | 3,02 | 1,8 | ||
| 2,12 | 1,2 | 3,13 | 1,1 | ||
| 2,26 | 1,0 | 3,28 | 1,5 | ||
| 2,44 | 1,1 | 3,43 | 1,3 | ||
| 2,57 | 1,3 | 3,58 | 1,4 |
1.11 В мартеновском цехе завода произведены испытания для определения зависимости производительности печи от содержания углерода в металле. Результаты приведены в табл. 11
Таблица 11.
| № анализа | Процент углерода в металле | Производительность печи, т/ч | № анализа | Процент углерода в металле | Производительность печи, т/ч |
| 0,95 | 16,3 | 0,82 | 16,7 | ||
| 0,98 | 16,0 | 1,12 | 15,8 | ||
| 0,65 | 17,3 | 0,92 | 16,4 | ||
| 0,94 | 16,5 | 1,12 | 15,7 | ||
| 0,99 | 1,00 | 16,0 | |||
| 0,78 | 1,13 | 15,9 |
1.12 Имеются данные по 20 предприятиям городского хозяйства об объеме продукции (услуг) за месяц и уровне механизации труда:
Таблица 12.
| № предприятия | Объем продукции за месяц, млн. руб. | Уровень механизации, % | № предприятия | Объем продукции за месяц, млн. руб. | Уровень механизации, % |
1.13 Отмечен официальный курс рубля к немецкой марке и объем продаж валюты на торгах ММВБ в 2001 г.:
Таблица 13.
| Дата | Курс немецкой марки, р. за 1 | Объем продаж, DEM | Дата | Курс немецкой марки, р. за 1 | Объем продаж, DEM |
| 01.01 | 13,37 | 16.02 | 13,47 | ||
| 05.01 | 13,56 | 21.02 | 13,51 | ||
| 10.01 | 13,73 | 23.02 | 13,31 | ||
| 12.01 | 13,64 | 28.02 | 13,4 | ||
| 17.01 | 13,61 | 01.03 | 13,44 | ||
| 19.01 | 13,68 | 06.03 | 13,67 | ||
| 24.01 | 13,37 | 08.03 | 13,7 | ||
| 26.01 | 13,29 | 13.03 | 13,68 | ||
| 31.01 | 13,66 | 15.03 | 13,39 | ||
| 02.02 | 13,62 | 20.03 | 13,1 | ||
| 07.02 | 13,53 | 22.03 | 13,11 | ||
| 09.02 | 13,37 | 27.03 | 13,14 | ||
| 14.02 | 13,63 | 29.03 | 13,15 |
1.14 Отмечался официальный курс рубля к немецкой марке и объем продаж валюты на торгах ММВБ в 2000г.:
Таблица 14.
| Дата | Курс немецкой марки, р. за 1 DEM | Объем продаж, DEM |
| 01.11 | 12,32 | |
| 02.11 | 12,32 | |
| 05.11 | 12,34 | |
| 09.11 | 12,25 | |
| 10.11 | 12,09 | |
| 14.11 | 12,32 | |
| 15.11 | 12,28 | |
| 16.11 | 12,18 | |
| 17.11 | 12,15 | |
| 18.11 | 12,19 | |
| 21.11 | 12,16 | |
| 22.11 | 12,09 | |
| 23.11 | 12,12 | |
| 24.11 | 12,07 | |
| 25.11 | 12,02 | |
| 28.11 | 11,95 | |
| 29.11 | 11,98 | |
| 30.11 | 12,16 | |
| 01.12 | 12,21 |
1.15 Отмечался официальный курс рубля к евро и объем продаж валюты на торгах ММВБ в 2001 г.:
Таблица 15.
| Дата | Курс евро, р. за 1 евро | Объем продаж, евро |
| 29.03 | 25,71 | |
| 03.04 | 25,23 | |
| 05.04 | 25,86 | |
| 10.04 | 26,02 | |
| 12.04 | 25,68 | |
| 17.04 | 25,64 | |
| 19.04 | 26,12 | |
| 24.04 | 25,82 | |
| 26.04 | 25,67 | |
| 01.05 | 25,84 | |
| 08.05 | 25,33 | |
| 15.05 | 25,71 | |
| 21.05 | 25,65 | |
| 22.05 | 25,43 | |
| 23.05 | 25,15 | |
| 24.05 | 24,9 | |
| 25.05 | 25,01 | |
| 28.05 | 24,98 | |
| 29.05 | 24,93 |
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.
Пример №1.
По семи территориям района известны значения двух признаков (табл.2.1)
Таблица 2.1.
| № района | Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у | Среднедневная заработная плата одного работающего, руб.,х |
| 68,8 | 45,1 | |
| 61,2 | 59,0 | |
| 59,9 | 57,2 | |
| 56,7 | 61,8 | |
| 58,8 | ||
| 54,3 | 47,2 | |
| 49,3 | 55,2 |
Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
· линейной;
· степенной;
· показательной;
· равносторонней гиперболы.
2. Оценить качество модели через среднюю ошибку аппроксимации Ā и F- критерий Фишера.
РЕШЕНИЕ.
· Для расчета параметров а и b линейной регрессии у = а + bx решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:
Составим расчетную таблицу:
| у | х | ух | х2 | у2 | ŷх | у- ŷх | Аi | |
| 68,8 | 45,1 | 3102,88 | 2034,01 | 4733,44 | 61,3 | 7,5 | 10,9 | |
| 61,2 | 59,0 | 3610,8 | 3481,00 | 3745,44 | 56,5 | 4,7 | 7,7 | |
| 59,9 | 57,2 | 3426,28 | 3271,84 | 3588,01 | 57,1 | 2,8 | 4,7 | |
| 56,7 | 61,8 | 3504,06 | 3819,24 | 3214,89 | 55,5 | 1,2 | 2,1 | |
| 58,8 | 3457,44 | 3025,00 | 56,5 | -1,5 | 2,7 | |||
| 54,3 | 47,2 | 3562,36 | 2227,84 | 2948,49 | 60,5 | -6,2 | 11,4 | |
| 49,3 | 55,2 | 2721,36 | 3047,04 | 2430,49 | 57,8 | -8,5 | 17,2 | |
| Итого | 405,2 | 384,3 | 22162,34 | 21338,41 | 23685,76 | 405,2 | 0,0 | 56,7 |
| Среднее значение | 57,89 | 54,9 | 3166,05 | 3048,34 | 3383,68 | 8,1 | ||
| σ | 5,74 | 5,86 | ||||||
| σ 2 | 39,92 | 34,34 |
Уравнение регрессии имеет вид: 
С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35%-ных пункта. Найдем линейный коэффициент парной корреляции:
Связь умеренная, обратная. Найдем коэффициент детерминации:
Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора х.
Величина средней ошибки аппроксимации равна:
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%.
Рассчитаем F – критерий Фишера: 
Fтабл=6,6.
Так как Fтабл.>Fфакт, α=0,05, то принимается гипотеза Ho о статистически незначимых параметрах данного уравнения. Этот результат можно объяснить невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.
· Построение степенной модели 
можно провести методом линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
Для расчетов параметров удобно данные представить в виде следующей таблицы:
| У | Х | УХ | У2 | Х2 | 
| 
| 
| 
| |
| 1,84 | 1,65 | 3,04 | 3,38 | 2,74 | 7,8 | 60,8 | 11,3 | ||
| 1,79 | 1,77 | 3,16 | 3,19 | 3,14 | 56,3 | 4,9 | 8,0 | ||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| Итого | 12,32 | 12,16 | 21,4 | 21,71 | 21,16 | 403,5 | 1,7 | 197,9 | 56,3 |
| Среднее значение | 1,76 | 1,74 | 3,06 | 3,101 | 3,019 | 28,27 | 8,0 | ||
| σ | 0,0425 | 0,0484 | |||||||
| σ2 | 0,0018 | 0,0023 |
Найдем С и b:
Линейное уравнение имеет вид: 
.
Выполним потенцирование уравнения, получим:
Рассчитаем показатель тесноты связи – индекс корреляции ρху:
Построению уравнения показательной кривой 
предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:
· Уравнение равносторонней гиперболы 
линеаризуется при замене: 
Тогда 
Пример № 2.
По территориям региона имеются данные (табл.2.2).
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х | Среднедневная заработная плата, руб., у |
Требуется:
1. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
2. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, 110% от среднего уровня.
3. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
РЕШЕНИЕ.
1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии используем ППП Excel инструмент анализа данных Регрессия. Получены следующие данные: r = 0,7201; r2= 0,52; коэффициенты: a=76,9, b=0,92.
Уравнение регрессии имеет вид: 
Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента. Выдвинем гипотезу Но о статистически незначимом отличии показателей от нуля: a=b=rxy=0.
tтабл = 2,23 для числа степеней свободы df=n-2=12-2=10 и α=0,05.
Определим случайные ошибки та, тb, тr:
Тогда
Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение tтабл=2,23; поэтому гипотеза Но отклоняется, т.е. а,b, r не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Для расчета доверительного интервала определим предельную ошибку ∆ для каждого показателя:
Доверительные интервалы имеют следующий вид:
Вывод: с вероятностью р=1-α=1-0,05=0,95 параметры а и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми.
2. Используем полученные оценки уравнения регрессии для его прогноза. Прогнозное значение прожиточного минимума составит:
тыс. руб.,
тогда 
тыс. руб.
3. Вычислим среднюю стандартную ошибку прогноза:
где 
Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит: 
Доверительный интервал прогноза:
, 
3. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ НА КОМПЬЮТЕРЕ.