Чтобы установить равенство прямоугольных треугольников, достаточно знать, что два элемента одного треугольника соответственно равны двум элементам другого треугольника (исключая прямой угол). Это, конечно, не распространяется на равенство двух углов одного треугольника двум углам другого треугольника.
Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис 5).
Далее, из второго признака равенства треугольников следует:
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 6).
Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.
ТЕОРЕМА. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 7).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из свойства 1º §2 следует, что в таких треугольниках два других острых угла тоже равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим углам.
Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых углы C и C1 - прямые, AB =A1B1, BC = B1C1 (рис. 8).
Так как < C = < C1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина C совместится с вершиной C1, а стороны CA и CB наложатся соответственно на лучи C1A1 и C1B1, поскольку CB = C1B1, то вершина B совместится с вершиной B1. Но тогда вершины A и A1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка A совместится с некоторой другой точкой A2 луча C1A1, то получим равнобедренный треугольник A1B1A2, в котором углы при основании A1A2 не равны (на рисунке < A2 - острый, а < A1 - тупой как смежный с острым углом B1A1C1). Но это невозможно, поэтому вершины A и A1 совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC A1B1C1, то есть они равны.
Что и требовалось доказать.
Теорема Пифагора
Значение её состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то: а) наклонные равны, если равны их проекции; б) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.
Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означает «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.
Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора, которая является важнейшей теоремой геометрии.
Если дан нам треугольник,
И при том с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем: