Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк матрицы.




Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы системы, (а следовательно, и самой системы) с помощью Э.П. к ступенчатому виду, где все элементы матрицы, стоящие ниже главной диагонали – нули. При этом возможны следующие случаи:

1) Если с помощью Э.П. расширенная матрица системы приведена к треугольному виду:

, (1.4)

т.е. ниже главной диагонали – нули, а все элементы главной диагонали нулю не равны, то система имеет единственное решение.

Полученная матрица (1.4) соответствует системе:

,

в которой последнее уравнение содержит одно неизвестное.

Из такой преобразованной системы все неизвестные определяются без труда, так называемым, обратным ходом.

2) Далее, если в ступенчатом виде расширенной матрицы присутствует хотя бы одна строка вида:

( ), где ,т.е

, (1.5)

то система несовместна. Такой строке соответствует уравнение вида

х1 + х2 + …+ хn = , которое не имеет смысла.

3) Если же в ступенчатом виде расширенной матрицы последняя строка, кроме диагонального элемента , имеет ещё ненулевые элементы, т.е.

, (1.6)

то система имеет бесконечное множество решений , т.е. является неопределённой. В этом случае n – k неизвестных объявляются свободными, т.е. принимающими произвольные значения, а остальные k неизвестных выражаются из уравнений системы через них.

 

Замечание. Для контроля вычислений в расширенную матрицу системы вводится дополнительный (контрольный ) столбец, элементы которого равны суммам элементов соответствующей строки расширенной матрицы. При Э.П. строк матрицы такому же преобразованию должны подвергнуться и элементы контрольного столбца. Контролем служит тот факт, что и после проведенного преобразования элементы контрольного столбца вновьравны сумме элементов соответствующей строки. Нарушение этого условия указывает на ошибку в вычислениях.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение. Составим расширенную матрицу системы вместе с контрольным столбцом и обозначим каждую строку полученной матрицы буквой , где i – номер строки: .

Первый шаг: приведём данную матрицу к треугольному или ступенчатому виду, т.е. к такому, когда для - первому ненулевому элементу i-ой строки все элементы матрицы, стоящие ниже и левее - нулевые.

Так как в первой строке первый элемент , то с помощью Э.П. добьёмся, чтобы ниже (т.е. во 2-ой, 3-ей и 4-ой строках) в первом столбце стояли нули. Для этого все элементы умножим на (-2) и сложим с , затем умножим на (-1) и (-3) и сложим соответственно с элементами и . Тогда получим:

При Э.П. этим же преобразованиям подвергаются и элементы контрольного столбца, а затем вновь, суммируя элементы строки матрицы (А|В), сравнивают сумму с соответствующим элементом контрольного столбца. Если эти числа совпали, то арифметические преобразования выполнены верны, если – нет, то необходимо найти ошибки в вычислениях.

Второй шаг: теперь необходимо под вторым элементом строки получить в строках и нули. На первом шаге метода Гаусса роль такого элемента выполняла единица, что было удобно при вычислениях. Поэтому поменяем местами и , одновременно умножив на (-1), т.е. .

На третьем шаге метода Гаусса добьёмся, чтобы в строке первый, отличный от нуля, элемент был единицей. Для этого умножим строку на (-1) и прибавим к третьей, а затем, умножая на (-4) сложим с :

.

Получена треугольная матрица, т.к. по главной диагонали стоят числа, отличные от нуля (единицы), а ниже неё – нули.

Следовательно, данная система уравнений имеет единственное решение. Для его нахождения выпишем по полученной матрице соответствующую систему уравнений: . Из последнего уравнения имеем, что . Подставляя это значение в предыдущее уравнение, найдём или . Из второго уравнения определяем


или , а из первого уравнения находим или .

Таким образом, система уравнений имеет единственное решение (1; 2; 3; 4).

Пример 2. Решить систему уравней:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы вместе с контрольным столбцом и с помощью шагов метода Гаусса приведём её к ступенчатому виду:

.

Получена ступенчатая матрица, для которой запишем соответствующую систему уравнений: . Так как эта система после исключения неизвестных приведена к ступенчатому виду, в котором число неизвестных

n = 3 больше числа уравнений k = 2, из которых их надо определить, то система неопределённа, то есть имеет бесчисленное множество решений.

Для его нахождения определяем число свободных неизвестных: . Следовательно, одно из неизвестных можно считать свободным, т.е. принимающим произвольные значения. В качестве него лучше выбирать то неизвестное, которое входит сразу во все уравнения получившейся системы. Таковыми в данном примере являются и . Выберем в качестве свободного неизвестного . Тогда из второго уравнения выражаем через : . Подставляя полученную связь между и в первое уравнение, найдём зависимость от : или .

Откуда окончательно имеем: .

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений: ; ; .

Пример 3. Решить систему уравнений .

Решение.

.

Так как последней строке полученной матрицы соответствует уравнение , которое является противоречивым, то система несовместна.

 





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!