Лекция 5 (Часть1)
Изгиб
ПЛАКАТ 1,2
Определение реакций опор и ВСФ.
Изгибом называется такое напряженно-деформированное состояние стержня, при котором происходит искривление продольной оси стержня под действием внешних сил или моментов.
Стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Балка, заделанная одним концом, называется консолью.
Если в поперечном сечении возникает только один ВСФ – изгибающий момент МИ (МХ или MY) – изгиб называют чистым.
Если вместе с изгибающим моментом возникает поперечная сила Fy (QY) – изгиб называют поперечным.
ПЛАКАТ 3
При изгибе к внешним силам относят: сосредоточенные и распределенные по длине силы, моменты и силы реакции опор. Последние находят из уравнений статики (уравнений равновесия). Исходная схема заменяется расчетной, где опоры заменены силами – реакциями опор. Для расчетной схемы составляются уравнения равновесия, из которых находят силы реакций опор.
Рассмотрим пример.
Знак y означает, что реакция в точке В направлена в противоположную сторону.
ΣМВ=0 → FА=3,5 кН
Направление реакции верно. Обязательная проверка:
∑Fу= – F+ FА– q·b – FB=0
–1+3,5–2·1– 0,5=0
0=0
Реакции определены верны.
Внутренние силовые факторы при изгибе – изгибающий момент МХ(МИ) и поперечную силу Fy (Q) определяют методом сечений.
ПЛАКАТ 4
Правила знаков
Поперечная сила Fy (Q) есть равнодействующая внутренних сил упругости, действующих в плоскости поперечного сечения, она равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных перпендикулярно к балке по одну сторону сечения. Поперечная сила имеет положительное значение, если для левой части балки равнодействующая внешних сил направлена вверх, а для правой – вниз, и отрицательное при противоположном направлении.
Изгибающий момент МХ (МИ) является моментом внутренних сил упругости, он равен алгебраической сумме моментов внешних сил, относительно центра тяжести сечения, действующих по одну сторону от данного сечения. Он считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным, если балка изгибается выпуклостью вверх.
Наглядное представление о характере изменения ВСФ по длине балки дают эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Определим Fy и МХ в нашем примере и построим их эпюры. Балка имеет 3 характерных участка:
Первый участок: 0 ≤ z1 ≤ a
Fy = – F = – 1 кН
Mx = – F·z1
z1 = 0 Mx = 0
z1 = a Mx = – F· a = – 1 кН·м
ПЛАКАТ 5
Второй участок: а ≤ z2 ≤ a+в
Fy = – F + FA – q·(z2 - a)
Mx = – F·z2 + FA ·(z2 – a) – q·(z2 – a)2/2
z2 = а Fy = – F + FA = 2,5 кН
Mx = – F · a = – 1 кН·м
z2 = а+в Fy = – F + FA – q· в = 0,5 кН
Mx = –F·(а+в) + FA· в – q· в 2/2 = 0,5 кН·м
Третий участок рассмотрим. справа налево, т.к. метод сечений рекомендует рассматривать ту часть стержня, к которой приложено меньше внешних сил.
Третий участок: 0 ≤z3≤ с
Fy = FВ = 0,5 кН;
MX= – FВ·z3
z3 = 0 MX = 0
z3 = с MX = – FВ· с = – 0,5 кН·м.
По полученным значениям строим эпюры Fy и МХ.
ПЛАКАТ 6
Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе.
Рассмотрим второй участок:
а ≤ z 2≤ a+b
Fy = – F + FА – q·(z2 – a)
MX = – Fz2 + FA·(z2 – a) – q·(z2 – a)2/2; (1)
Продифференцируем МХ по текущей координате z:
(2)
Производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе в том же сечении (теорема Журавского).
Возьмем вторую производную от МХ:
(3)
Вторая производная от изгибающего момента или первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки.
Зависимости (2) и (3) имеют важное практическое значение для контроля правильности построения эпюр Fy и МХ.
Если на некотором участке балки:
а) Fy>0, то МХ возрастает;
б) Fy<0, то МХ убывает;
в) Fy меняет знак, то МХ имеет экстремальное значение;
г) если q ≠ 0, то эпюра Fy ограничена наклонной, а МХ – параболой.
ПЛАКАТ 7