Определение нормальных напряжений

И расчет на прочность при изгибе.

Построение эпюр F_y и М_Х позволяет определить внутренние усилия в любом сечении балки при изгибе. Поперечная сила складывается из элементарных касательных усилий – касательных напряжений, а изгибающий момент – из элементарных нормальных усилий – нормальных напряжений.

Практика показывает, что наиболее опасными являются нормальные напряжения при изгибе. Поставим задачу отыскать эти напряжения.

Если на балку нанести прямоугольную сетку и подвергнуть балку чистому прямому изгибу F_y=0, М_Х=const, то можно установить основные признаки чистого изгиба:

а) Плоские продольные сечения a¹-b¹, c¹-d¹, e¹-f¹ искривляются;

б) Плоские поперечные сечения 1-1, 2-2, оставаясь плоскими, поворачиваются на некоторый угол dφ;

в) волокна на вогнутой стороне e¹-f¹ укорачиваются – сжимаются, а на выпуклой стороне a¹-b¹ удлиняются – растягиваются. Между ними существует слой c¹-d¹, который остается исходной длины – его называют нейтральным слоем;

г) Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью;

д) Пересечение силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения называется силовой линией;

е) При чистом прямом изгибе силовая линия и нейтральная ось совпадают с главными центральными осями сечения.

ж) Изменяются и поперечные размеры балки, ширина: внизу, где сжатие – увеличивается, вверху, где растяжение – уменьшается, т.к.:

ε^' = – μ·ε

где ε^' – относительная поперечная деформация;

μ – коэффициент Пуассона;

ε – относительная продольная деформация.

Сделаем допущение, что волокна друг на друга не давят и следовательно подвергаются простому растяжению или сжатию.

Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя ρ, расстояние от нейтрального слоя до слоя a-b, через y и найдем удлинение слоя a-b.

ПЛАКАТ 8

Длина до изгиба:

ab=cd=l₀

Длина нейтрального слоя остается постоянной:

сd=c ﬞ d=ρ·dφ

 

Длина слоя a-b после изгиба увеличилась:

l₁=а¹ ﬞ в¹=(ρ+у)·dφ

 

Относительное удлинение слоя a-b:

(4)

По закону Гука:

(5)

т.е. нормальные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения балки пропорционально расстоянию от нейтрального слоя. Наибольшие напряжения у верхнего и нижнего слоя. Установив закон распределения напряжений можно определить их величину.

 

 

На поперечном сечении изогнутой балки выделим элементарную площадку dА, на расстоянии у от нейтральной оси. Тогда элементарная сила будет равна: dF=σ·dA

Причем выше нейтральной оси эта сила будет растягивающей, а ниже – сжимающей.

 

ПЛАКАТ 9

Элементарный изгибающий момент от этой силы будет равен:

dM_X=y·σdA

Изгибающий момент в сечении равен сумме элементарных моментов, т.е. интегралу по площади сечения А:

(6)

Подставим (5) в (6):

(7)

где – осевой момент инерции.

Перепишем (7) следующим образом:

(8)

EI_X – жесткость при изгибе.

 

Подставим (8) в (5):

(9)

На нейтральной оси при у = 0, σ = 0. Наибольшие напряжения будут при у = у_mах:

 

(10)

где – осевой момент сопротивления или момент сопротивления сечения изгибу.

 

ПЛАКАТ 10

 

Для круга:

Для прямоугольника:

Для прокатных сечений значение W_X дано в сортаменте.

 

Условие прочности при изгибе:

(11)

При проектном расчете на прочность при изгибе определяют необходимые размеры сечения через момент сопротивления:

(12)

Например для круглого сечения

 

ПЛАКАТ 11

Для произвольных сечений напряжения растяжения и сжатия могут быть не одинаковыми:

Если материал не одинаково работает на растяжение и сжатие [σ]_Р<[σ]_С, то балки нужно повернуть на 180⁰.