Изучение числовых равенств и неравенств в курсе математики начальных классов
Равенством называют запись, содержащую два выражения, соединенные знаком «=» равно. Равенства бывают верными и неверными. Если значения выражений, стоящих в левой и правой части равенства, совпадают, то равенство считается верным, если нет, то равенство будет неверным.
52+6=64-6 – верное равенство, т. к. 58=58; 7•8=6•8 – неверное равенство, т. к. 56 
48
Большинство заданий в математике связано с вычислением значения выражения. Если значение выражения найдено, то результат выполнения вычислительного действия записывают в виде равенства. Например, 3+1=4. Если значение выражения вычислили верно, то равенство называют верным, если неверно, то записанное равенство считают неверным (3+1 5).
С равенствами дети знакомятся в первом классе одновременно с понятием «выражение», в теме «Числа первого десятка». Осваивая символическую модель образования последующего и предыдущего числа, дети записывают равенства 2+1=3 и 4-1=3. В дальнейшем равенства активно используются при изучении состава однозначных чисел и далее практически с этим понятием связано изучение каждой темы в курсе математики начальной школы. Вопрос о введении понятия «верное» и «неверное» равенство в различных программах решается неоднозначно. В ряде программ это понятие вводят одновременно с записью равенства, в других, при изучении темы «состав однозначных чисел», где используются записи равенства «с окошком» (+3=5; +=5; +=). Подбирая число или несколько чисел, которые можно вставить в окошко, дети убеждаются в том, что в одних случаях получаются верные, а в других неверные равенства. Следует заметить, что данные математические записи с одной стороны позволяют закрепить состав чисел, с другой дают представление о переменной величине и являются подготовкой к введению буквенной символики и получению нового понятия – уравнение.
Процесс сравнения чисел, а затем выражений и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения «<», «>» приводит к получению числовых неравенств. Числовые неравенства, как и равенства, могут быть верными и неверными. Поскольку отдельно взятое число есть элементарное выражение, то определение неравенства в обобщенном виде может звучать так: «два выражения, соединенные знаком сравнения «больше» или «меньше», называют неравенством».
Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах при сравнении выражений используется прием вычисления значений выражений и последующего сравнения их значений. Например, детям сообщается правило: «Сравнить выражения – значит сравнить их значения».
Задание: сравните выражения: 21+6 … 23+6.
Выполняя задание, дети рассуждают так.
«Вычислим значение выражений в левой и правой части. 21+6=27; 23+6=29. Сравним значения выражений: 27<29. Вывод. Значит, сумма двадцати одного и шести меньше суммы двадцати трех и шести.
Оформление записи.
21+6 < 23+6
27 < 29
Ценным является и другой способ обоснования сравнения выражений. Используя его, дети опираются на свойства действий или правила зависимости изменения результата действия в связи с изменением одного из компонентов. В этом случае, выполняя данное задание, дети могут рассуждать следующим образом. «В первом выражении первое слагаемое больше, чем первое слагаемое второй суммы, а вторые слагаемые в выражениях равны, значит, значение суммы двадцати одного и шести меньше значения суммы двадцати трех и шести».
Способы решения неравенств с переменной
Традиционно при решении неравенств с переменной использовалось два способа: способ подбора и способ сведения к равенству.
Первый способ называют способом подбора, что вполне отражает действия, производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается либо из произвольного множества чисел, либо из заданной их совокупности. После каждого выбора значения переменной (неизвестного числа) осуществляется проверка правильности выбора. Для этого в заданное неравенство с переменной вместо неизвестного числа подставляется выбранное значение переменной величины. И далее дети проводят те же рассуждения и записи, которые выполняли с числовыми неравенствами. Вычисляется значение левой и правой части неравенства (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т. е. числом), а затем, сравнивается значение левой и правой части полученного неравенства. Все эти действия могут выполняться устно или с записью промежуточных вычислений.
Например, «Определи, какие значения может принимать переменная а в неравенстве.»
Второй способ заключается в том, что в записи неравенства вместо знаков «<», «>» ставят знак равенства и получают уравнение. Полученное уравнение школьники решают известным способом. Затем, проводятся рассуждения, при которых используются знания детей об изменении результата действия в зависимости от изменения одного из его компонентов и определяются допустимые значения переменной.
Например, «Определи, какие значения может принимать переменная а в неравенстве 12- а <7». Решение и образец рассуждений.
Найдем значение а, если 12- а =7 (свели к равенству и получили уравнение)
Вычисляю, применяя правило нахождения неизвестного вычитаемого: а =12-7, а =5.
Уточняю ответ: при а равном 5 («корень уравнения равен 5-ти») значение выражения 12-5 равно 7, а нам нужно найти такие значения этого выражения, которые бы были меньше 7, значит надо из 12 вычитать числа большие пяти. Это могут быть числа 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (чем большее число мы вычитаем из одного и того же числа, тем меньше значение разности). Значит, а = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Значения, большие 12, переменная а принимать не может, так как большее число из меньшего вычитать мы не умеем (если не вводятся отрицательные числа).
Пример подобного задания из учебника 3 класса (1-4), авторы: И. И. Аргинская, Е. И. Ивановская.
«Реши неравенства, используя решение соответствующих уравнений:
к -37<29, 75- с >48, а +44<91.
Проверь свои решения: подставь в каждое неравенство не-сколько чисел, больших и меньших корня соответствующего уравнения.
Составь свои неравенства с неизвестными числами, реши их и проверь найденные решения.
Предложи свое продолжение задания».
Надо отметить, что ряд технологий и программ обучения, усиливая логическую составляющую и значительно превышая стандартные требования к содержанию математического образования в начальных классах, вводят понятия: «переменная величина», «значение переменной»; понятие «высказывание» (верные и неверные утверждения называют высказыванием), «истинные и ложные высказывания»; рассматривают системы уравнений.