Равенство, содержащее переменную величину, называют уравнением. Решить уравнение – значит, найти такое значение переменной величины (корень уравнения), при котором уравнение преобразуется в верное числовое равенство. Значение переменной, при котором уравнение преобразуется в верное равенство, называют корнем уравнения. Приведем пример рассуждений.
Дано уравнение:28+ x =34, Утверждается, что 6 – корень этого уравнения. Проверим наше утверждение.
Подставим в уравнение вместо x его значение 6, получим 28+6=34, выполним вычисления в левой части равенства 28+6=34. Сравним левую и правую части равенства, получим 34=34. Значит наше утверждение верно.
Следует заметить, что приведенные выше рассуждения входят в проверку правильности решения уравнения. И начинать обучать решению уравнений разного вида следует именно с подобных заданий, где дети должны учиться проверять правильно или нет, подобран корень уравнения (значение неизвестного числа). В этом случае в дальнейшем дети не будут игнорировать проверку решения уравнения или выполнять ее формально.
В некоторых программах введение понятия «переменная» не предусматривается. В них уравнение трактуется как равенство, содержащее неизвестное число и далее, решить уравнение, значит, найти такое значение неизвестного числа, при подстановке которого вместо неизвестного получается верное равенство. Это число называют значением неизвестного или решением уравнения. Таким образом, термин «решение уравнения» используется в двух смыслах: как число (корень), при подстановке которого вместо неизвестного числа уравнение обращается в верное равенство, и как сам процесс решения уравнения.
В большинстве программ и систем обучения в начальной школе рассматривают три способа решения уравнения.
Первый способ называют способом подбора, что вполне отражает действия производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается учащимися произвольно из множества чисел, либо они выбирают его из заданной совокупности чисел. После каждого выбора значения переменной (неизвестного числа) осуществляется проверка правильности решения. Сущность проверки вытекает из определения уравнения и, как мы уже отмечали, сводится к выполнению четырех взаимосвязанных действий:
- в заданное уравнение вместо неизвестного числа подставляется найденное значение;
- вычисляется значение левой и правой части уравнения (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т. е. числом);
- сравнивается значение левой и правой части полученного равенства;
- делается вывод о верности или неверности полученного равенства и далее, является ли найденное число решением (корнем) уравнения.
При этом еще на этапе решения уравнений способом подбора в речевую практику вводится понятие «корень уравнения» и сам способ решения называют решением уравнения с помощью «подбора корней».
На первых порах практически выполняется только первое действие, а остальные проговариваются. Этот алгоритм проверки сохраняется для каждого способа решения уравнения.
Второй способ. Ряд авторов учебников и методических рекомендаций для решения простых уравнений используют зависимость между частью и целым. Тогда рассуждения звучат так. В уравнении 8+ x =10; числа 8 и x – части целого; 10 – целое. Чтобы найти неизвестную часть целого можно из целого вычесть известную часть: x =10-8; x=2. Далее выполняется проверка правильности решения уравнения по выше изложенному плану.
Третий способ решения уравнения опирается на зависимость между результатом и компонентами действия. Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из компонентов. Например, зависимость между значением суммы и одним из слагаемых звучит так: «если из значения суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое». Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из слагаемых: «чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из значения суммы вычесть известное слагаемое». Решая уравнение, дети рассуждают так:
Задание: реши уравнение 8+ х =11.
Рассуждения звучат так. В данном уравнении неизвестно второе слагаемое. Мы знаем, чтобы найти второе слагаемое можно из значения суммы вычесть второе слагаемое. Значит надо из 11 вычесть 8. Записываю: x =11-8. Вычисляю, 11 минус 8 равно 3, пишу x =3.
Далее делается проверка по вышеуказанному алгоритму.
Полная запись решения с проверкой будет иметь следующий вид:
8+ х =11
х =11-8
х =3
8+3=11
11=11
Названным выше способом решаются уравнения с двумя и более действиями со скобками и без них. В таких уравнениях нужно определить порядок действий в составном выражении и, называя компоненты в составном выражении по последнему действию, следует выделить неизвестное, которое в свою очередь может быть выражением на сложение, вычитание, умножение или деление (выражено суммой, разностью, произведением или частным). Затем применяют правило для нахождения неизвестного компонента, выраженного суммой, разностью, произведением или частным, учитывая названия компонентов по последнему действию в составном выражении. Выполнив вычисления в соответствии с этим правилом, получают простое уравнение (или снова составное, если первоначально в выражении было три или более знаков действий). Его решение проводится по уже описанному выше алгоритму. Например. Задание: реши уравнение (х +2):3=8.
Рассуждения. В данном уравнении неизвестно делимое, выраженное суммой чисел x и 2. (В соответствии с правилами порядка действий в выражении (x +2):3, действие деления выполняют последним).
Чтобы найти неизвестное делимое, можно значение частного умножить на делитель: x +2=8•3.
Вычисляем значение выражения справа от знака равенства, получаем: x +2=24.
Далее получаем уравнение на нахождение неизвестного слагаемого. Рассуждаем как в предыдущем примере.
Полная запись имеет вид:
(х +2):3=8
x +2=8•3
x +2=24
x =24-2
x =22
Проверка.
(22+2):3=8
8=8
Ряд альтернативных программ обучения математике в начальных классах практикуют знакомство детей с более сложны-ми уравнениями, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия приходится применять многократно и, нередко, требуют выполнения действий по преобразованию од-ной из частей уравнений на основе свойств математических действий.
Например, для решения предлагаются такие уравнения: 2• х -8+5• х =97. Решение уравнений такого вида в начальных классах превышает базовый уровень усвоения материала.
Четвертый способ решения уравнений опирается на теоремы о равносильности уравнений и следствия из них. Например, одна из теорем о равносильности уравнений в упрощенной формулировке читается так: «Если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному уравнению».
Из данной теоремы вытекают следствия, которые и используются при решении уравнений.
Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим новое уравнение, равносильное данному.
Следствие 2. Если в уравнении одно из слагаемых (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Таким образом, процесс решения уравнения сводится к замене данного уравнения равносильным, причем эта замена (преобразование) может осуществляться только с учетом теорем о равносильности уравнений или следствий из них. Этот способ решения уравнений является универсальным, с ним детей знакомят в системе Л. В. Занкова и в старших классах.
В методике работы над уравнениями накоплено большое число творческих заданий:
- выбор уравнений по заданному признаку из ряда предложенных уравнений;
- сравнение уравнений и способов их решений;
- составление уравнений по заданным числам;
- изменение в уравнении одного из известных чисел так, чтобы значение переменной стало больше, чем (меньше, чем) первоначально найденное значение;
- подбор известного числа в уравнении;
- проговаривание алгоритмов решения с опорой на блок-схемы решения уравнений или без них;
- составление уравнений по текстам задач и обратно, составление задач по заданной модели уравнения.