Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы.

Задание С-3. Определение реакций опор составной конструкции

Вариант № 1.

Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции. Схема конструкции представлена на рис. 1 (размеры – в м), нагрузка указана в таблице 1.

 

Рис. 1

 

Таблица 1.

P1, кН	М, кН×м	q, кН/м
6,0	25,0	0,8

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

Решение. Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис. 2).

 

y

P_1y P₁

 

90°

 

 

P_1x C

 

Q M

 

R_Ay R_By

 

R_Ax R_Bx x

A B

Рис. 2.

 

Разложим силу P на составляющие Px и Py.

P_1y P₁

a

 

P_1x a a

 

 

 

Рис. 3.

 

P1x = P1×sin(a),

P1y = P1×cos(a).

a = arctg(1,5/6) = arctg(0,25) = 14°.

P1x = P1×sin(a) = P1×sin(14°) = 6×0,24 = 1,44 (кН),

P1y = P1×cos(a) = P1×cos(14°) = 6×0,97 = 5,82 (кН).

Q = q×3,5 = 0,8×3,5 = 2,8 (кН).

 

С-3. Определение реакций опор составной конструкции.

 

Запишем уравнения равновесия:

 

(1)

 

(2)

 

 

(3)

 

Данная система из 3 уравнений содержит 4 неизвестных, для их нахождения рассмотрим отдельно правую и левую части конструкции.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к левой части конструкции (рис.4):

y

P_1y P₁

 

90°

 

 

P_1x C

R_Cx

Q R_Cy

 

R_Ay

 

R_Ax x

A

 

Рис. 4.

 

Запишем уравнения равновесия:

 

(4)

 

(5)

 

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

(6)

 

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к правой части конструкции (рис.5):

 

y

 

 

R`_Cy

R`_Cx

C

 

M

 

R_By

R_Bx x

B

 

Рис.5.

 

Запишем уравнения равновесия:

 

(7)

 

(8)

 

(9)

 

где RCx = R`Cx, RCy = R`Cy.

 

Таким образом, имеем систему 4 уравнений (1), (2), (6) и (9) с 4 неизвестными.

Из уравнения (9)

 

 

Из уравнения (1)

 

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

 

Из уравнения (6)

 

 

Из уравнения (2)

 

 

Найдем реакции шарнира С:

 

RCx = -RBx = 12,5 кН,

RCy = -RBy = 0,07 кН.

 

Отрицательные значения RBx и RBy говорят о том, что действительное направление RBx и RBy противоположно указанному на рис.4.

 

Итак,

 

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

 

Найти реакции опор конструкции изображенной на рис.1.

Дано: Q = 2, G = 20, a = 20, b = 30, c = 10 R =15, r =5. Решение: Разложим реакции в опорах А и Б на их составляющие по осям коардинат, при этом RAy=RBy=RDy=0

 

 

Составим уравнения сумм моментов относительно всех осей:

 

Р*15-q*5=0, где, отсюда Р=(q*5)/15

-qx*20+P*60-RBx*80, отсюда RBx=(qx*20-P*60)/80

-qx*20-G*(20+30)+RBz*(20+30+30) отсюда RBz= (qx*20+G*50)/80

-Raz*80+qz*60+G*30=0 отсюда Raz= (qz*60+G*30)/80

Rax*80+ qx*60-P*30=0 отсюда Rax=-(qx*60-P*30)/80

qx=Q*cos45; qz=Q*sin45

Ra= RB=

 

Результаты работы

Raz	Rax	Ra	RBz	RBx	RB

 

 

Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы.

Вариант № 1.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая трение скольжения тела 1, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; b - угол наклона плоскости к горизонту; f – коэффициент трения скольжения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

 

Рис. 1

 

Таблица 1.

m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	b, град	f	s, м
m	4m	0,2m	4m/3		0,10

Решение.

 

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

 

(1)

 

где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

 

 

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

 

(2)

 

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:

 

Т = Т1 + Т2 + Т3 + Т4. (3)

 

2

 

 

w₂

 

 

V_A

 

 

V₃

3 b V₁

A C₃ C_V

 

w₃

V₄

 

 

Рис. 2.

 

Д-10

 

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

 

(4)

 

Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,

 

, (5)

где J2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

 

, (6)

 

w2 – угловая скорость барабана 2:

 

. (7)

 

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

 

. (8)

 

Кинетическая энергия барабана 3, совершающего плоское движение:

 

, (9)

 

где VC3 – скорость центра тяжести С3 барабана 3, J3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

 

, (10)

 

w3 – угловая скорость барабана 3.

Так как двигается по нити без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке СV. Поэтому

, (11)

. (12)

 

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

 

. (13)

 

Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно,

 

, (14)

 

где V4 = VC3 = V1/2:

 

. (15)

 

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

 

 

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

 

 

или

. (16)

 

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

 

2

 

 

 

N₁

 

 

F_TP

 

 

3 b

C₃

 

 

P₃ P₁

 

 

P₄

Рис. 2.

 

Работа силы тяжести :

 

(17)

 

Работа силы трения скольжения :

 

Так как

 

 

то

 

(18)

 

Работа силы тяжести , препятствующей движению тела 1:

 

(19)

 

Работа силы тяжести , препятствующей движению тела 1:

 

(20)

 

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (20):

 

.

 

Подставляя заданные значения масс, получаем:

 

или

 

. (21)

 

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (21):

 

,

 

откуда

 

м/с.

 

Д-10

 

Задание Д-19. Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы.

Вариант № 1.

Для заданной механической системы определить ускорения грузов и натяжения в ветвях нитей, к которым прикреплены грузы. Массами нитей пренебречь. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Система движется из состояния покоя.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.

Рис. 1

 

Таблица 1.

G1, кг	G2, кг	G3, кг	R/r	i2x
G	G	3G

 

Решение.

Применим к решению задания общее уравнение динамики. Так как система приходит в движение из состояния покоя, направления ускорений тел соответствуют направлениям их движения. Движение таково, что груз 1 опускается.

Покажем задаваемые силы: силы тяжести - груза 1, - блока 2 и - катка 3 (рис. 2).

 

a₃

M₃^Ф 2 e₂ M₃^Ф

 

Ф₃ e₃ dj₃

dj₂

 

ds₃

G₃

Ф₁

 

G₂ 1

 

a₁

 

 

ds₃

 

 

G₁

Рис. 2.

 

Приложим силы инерции. Сила инерции груза 1, движущегося поступательно с ускорением :

 

.

 

Силы инерции блока 2, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением e2, приводятся к паре, момент которой

 

Силы инерции катка 3, совершающего плоское движение, приводятся к силе

 

,

 

где - ускорение центра масс катка 3, и к паре сил, момент которой

 

,

 

где e3 – угловое ускорение катка 3, J3 – момент инерции катка 3 относительно центральной продольной оси:

 

.

 

Сообщим системе возможное перемещение в направлении ее действительного движения (рис. 2). Составим общее уравнении динамики:

 

, (1)

 

где dj2 и dj3 – углы поворотов блоков 2 и 3.

Учитывая, что G1 = G2 = G = mg, G3 = 3G = 3mg

имеем:

 

(2)

Устанавливаем зависимости между возможными перемещениями, входящими в (1), и между ускорениями в (2), пользуясь тем, что эти зависимости такие же, как между соответствующими скоростями:

 

dj2 = dj3 = ds1/R = ds1/2r;

ds3 = dj2r = ds1/2; (3)

e2 = e3 = a1/2r; a3 = a1/2.

 

С учетом (2) и (3) уравнение (1), после деления всех его членов на m и ds1, принимает вид

 

 

откуда

 

,

а3 = a1/2 = 1,87 м/с2.

 

а₃

 

M₃^Ф

Ф₃ e₃ dj₃ Т_2-3

 

ds₃

 

G₃

 

Рис. 3.

 

Ф₁

 

Т_1-2

 

 

а₁

 

 

ds₁

 

 

G₁

 

Рис. 4.

 

Для определения натяжения в нити 2-3 мысленно разрежем эту нить и заменим ее действие на каток 3 реакцией T2-3 (рис. 3).

Общее уравнение динамики:

 

,

 

откуда

 

Для нахождения натяжения в нити 1-2 мысленно разрежем эту нить и заменим ее действие на груз 1 реакцией T1-2 (рис. 4).

Не составляя общего уравнения динамики, на основании принципа Даламбера имеем: