Вариант № 1.
Рис. 1
Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С. Схема механизма представлена на рис. 1, необходимые для расчета данные приведены в таблице 1.
Таблица 1.
| Размеры, см | wОА, с-1 | eОА, с-2 | ||
| ОА | r | АС | ||
Решение.
Определение скоростей точек.
Вычислим скорость точки А при заданном положении механизма:
VA = wОА×OA = 2×40 = 80 см/с.
Скорость точки А направлена перпендикулярна к ОА. Мгновенный центр скоростей СV находится в точке соприкосновения колес.
Угловая скорость колеса
wК = VA/r = 80/15 = 5,33 c-1
Скорости точек В и С:
VB = wК×ВСV;
VС = wК×ССV,
где
ВСV = r× 
= 15×1,41 = 21,2 см,
ССV = 
см.
Следовательно,
VB = wК×ВСV = 5,33×21,2 = 113 см/с;
VС = wК×ССV = 5,33×21,4 = 114,1 см/с.
Вектор 
направлен перпендикулярно к отрезку BCV, а вектор 
- перпендикулярно к отрезку CCV в сторону вращения колеса.
VA
VC
wК
O wOA CV A VB
45°
C
r
B
Рис. 2
К-3
Определение ускорений точек.
Ускорение точки А складывается из вращательного и центростремительного ускорений:
;
см/с2;
см/с2.
Вектор 
направлен от А к О. Вектор 
перпендикулярен к вектору 
и направлен в соответствии с направлением углового ускорения eОА.
Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры имеем:
.
Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении колеса вокруг полюса А:
см/с2.
Вращательное ускорение точки В:
,
где
с-2,
см/с2.
Вектор 
направлен от В к А. Вектор 
перпендикулярен к вектору 
и направлен в соответствии с направлением углового ускорения eK.
Ускорение точки В находим способом проекций:
см/с2;
см/с2;
см/с2.
Определяем ускорение точки С:
.
Центростремительное ускорение точки С во вращательном движении колеса вокруг полюса А:
см/с2.
К-3
Вращательное ускорение точки С:
см/с2.
Вектор 
направлен от С к А. Вектор 
перпендикулярен к вектору 
и направлен в соответствии с направлением углового ускорения eK.
Ускорение точки С находим способом проекций:
см/с2.
y
aC aCy
aBy
aB
aAt
eOA eK aACt
x O aAn A
aACn
C
aCx 45°
aABn
aBx B aABt
Рис. 3
К-3
Задание K-1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.
Вариант № 1.
По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1(c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Данные приведены в таблице 1.
Таблица 1.
| Уравнения движения | t1(c) | |
| x = x(t), см | y = y(t), см | |
| -2t2+3 | -5t | 0,5 |
K-1
Решение.
Исходные данные в см и с:
x = -2t2 + 3; y = -5t; (1)
t1 = 0,5
Уравнения движения (1) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения. Тогда
25x + 2y2 = 75 (2)
Это уравнение параболы.
Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:
Vx = x’ = -4t см/с; Vy = y’ = -5 см/с.
Модуль скорости точки
. (3)
Аналогично проекции ускорения точки
ax = x’’ = -4 см/с2; ay = y’’ = 0.
Модуль ускорения точки
см/с2.
Касательное ускорение находим путем дифференцирования модуля скорости (3)
При t = 0,5 c
x = -2×0,52 + 3 = 2,5 см, y = -5×0.5 = -2,5 см.
Vx = -4×0,5 =-2 см/с, Vy = -5 см/с, V = 5,38 см/с.
ax = -4 см/с2, ay = 0, a = 4 см/с2
см/с2
K-1
Модуль касательного ускорения
at = 1,487 см/с2
Знак “+” при dV/dt показывает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления 
совпадают.
Нормальное ускорение точки:
см/с2.
Радиус кривизны траектории в той точке, где при t = 0,5 с находится точка М:
см.
Пользуясь уравнением (2), строим траекторию (рис. 1) и показываем на ней положение точки М в заданный момент времени. Вектор 
строим по составляющим 
, причем он направлен по касательной к траектории точки. Вектор 
находим как по составляющим 
, так и по 
.
 |
Рис. 1
Задание К-2. Определение скоростей и ускорений точек твёрдого тела при поступательном и вращательном движениях.
Вариант № 1.
Дано:
Определить коэффициенты 
, 
и 
, при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить так же в момент времени 
скорость и ускорение груза и точки М одного из колёс механизма.
Решение:
Уравнение движения груза 1 имеет вид:
(1).
Коэффициенты 
, и 
могут быть определены из следующих условий:
при 
(2).
при 
(3).
Скорость груза 1:
(4).
Подставляя (2) и (3) в формулы (1) и (4), находим коэффициенты:
Таким образом уравнение движения груза 1:
(5).
Скорость груза 1:
(6).
Ускорение груза 1:
Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза 
и угловые скорости колёс 
и 
.
В соответствии со схемой механизма
(7).
откуда
или с учётом (6) после подстановки данных:
Угловое ускорение колеса 3:
Скорость точки М, её вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
Выполнил: ст.гр. С-045 rus Калайчиди Виктор
Проверил: Русу В.Н.
| Шифр | Вариант |
Дано: схема механизма,
Sr=OM=20 sin рt см
t1=1/3 c
a=20 cм
Решение:
Положение М на фигуре D определяется расстоянием Sr=OM
При t=1/3 c
Sr=20 sin р/3 =17.32 cм
Абсолютная скорость точки М
V=Vr+Ve
Модуль относительной скорости
Vr=| Vr |
Vr=dSr/dt=20р cos рt
При t=1/3 c
Vr=10 р=31.41 cм/с
Положительный знак у величины Vr показывает, что вектор Vr направлен в сторону возрастания Sr
Модуль переносной скорости
Ve=Rщe
R= Sr2+a2 =26.46 см
щe=|щe| щe=dцe/dt=1-t c-1
При t=1/3
щe= 0.67 c-1
Положительный знак у величины щe показывает, что вращение фигуры D происходит вокруг Оz по направлению отсчета угла ц. Вектор щe направлен на наблюдателя.
Переносная скорость
Ve=17.73 см/с
Вектор Ve направлен по касательной к окружности вращения т.М
Из теоремы косинусов найдём
V=Vr2+ Ve2 - 2VrVeсos б
cos б = a/R = 0.76
V=21.32 cм/с
Абсолютное ускорение точки равно геом. сумме относительного, переносного, и кориолисова ускорений
W=Wr+We+Wc
W=Wrф+Wrn+Weв +Weц+Wc
Wrф= d2Sr/dt2 =-20р2 sin рt
При t=1/3 c
Wrф= -170.77 cм/с2
Wrф=170.77 cм/с2
Знак “-“ показывает, что Wrф направлен в сторону убывания Sr
Wrn=Vr2/с=0 (с=∞)
Модуль переносного вращательного ускорения
Weв=Rеe
еe= d2цe/dt2=-1 c-2
Weв= -26.46 cм/с2
Разные знаки у величин еe и щe говорят о замедленном движении круга D, вектора еe и щe противоположно направленны.
Weц=R щe2=11.88 cм/с2
Вектор Weц направлен к центру окружности L
Wc=2щe x Vr
Wc=2щeVr sin(щe Vr)
sin(щe Vr)=1
Wc=2щeVr=48.09 cм/с2
По методу проекций имеем
Wx= Weв cos б - Weц cos(90-б) - Wrф=
Wy= Wc-Weв sin б - Weц sin(90-б) =
W= Wx2+ Wy2=
| щe, c-1 | Скорость, см/с | еe,c-2 | Ускорение, см/с2 | |||||||||||
| Vr | Ve | V | Wrф | Wrn | Weв | Weц | Wc | Wx | Wy | W | ||||
| 0.67 | 31.41 | 17.73 | 21.32 | -1 | -170.77 | -26.46 | 11.88 | 48.09 | ||||||