Модель транспортно – складского хозяйства (управление товарными запасами).

Для построения экономико – математической модели (эмм) введём обозначения: С_ХР – стоимость хранения на складе единицы товара за единицу времени, [руб/(шт×сутки)]; Х₀ – размер партии [шт], завозимой на склад с периодичностью Т_Ц [сутки]; Т – длительность рабочего периода [сутки]; М – общее количество товара [шт], проходящее через склад за время Т; n – число партий, завозимых на склад за время Т; V = dX/dt – интенсивность потребления товара со склада [шт/сутки]; С_ТР – стоимость перевозки одной партии товара размером Х₀, [руб/партия]; С_ТР.0 – постоянная составляющая перевозки одной партии товара [руб/партия]; С_ТР.УД – стоимость перевозки одной штуки товара [руб/шт]; З, З_ХР, З_ТР – затраты общие, хранения и транспортировки соответственно [руб]; Х_СР – среднее количество товара [шт], находящееся на складе в течение времени Т_Ц.

Модель строится на следующих уравнениях.

З = З_ХР + З_ТР (1).

З_ХР = Х_СР ∙ Т ∙ С_ХР (2).

Х_СР = ∙ ∙ dt (3).

При Х(t) – линейная функция: Х = Х₀ – V ∙ t (рис.1), то Х_СР = Х₀/2 (4).

С_ТР = С_ТР.УД ∙ Х₀ + С_ТР.0 (5).

З_ТР = n ∙ С_ТР (5.1).

n = (6.1).

n = (6.2).

После следующих преобразований:

(6.1) Þ n → (6.2) Þ Т_Ц: Т_Ц = Т ∙ (7).

(4) Þ Х_СР → (2) Þ З_ХР: З_ХР = ∙ Х₀ (8);

(6.1) Þ n → (5.1); (5) Þ С_ТР → (5.1) Þ З_ТР: З_ТР = + М∙С_ТР.УД (9).

(8) Þ З_ХР → (1); (9) Þ З_ТР → (1).

Тогда: З = ∙ Х₀ + + М∙С_ТР.УД (10).

Для нахождения минимального значения З = З_MIN при оптимальном значении Х₀ = Х₀^* необходимо выполнить следующие действия:

(10) Þ = 0 Þ Х₀ = Х₀^*. Тогда:

Х₀^* = (11); З_MIN = + М∙С_ТР.УД (12).

Оптимальное значение Т_Ц = Т_Ц^* определится при подстановке в (7): Х₀ = Х₀^* из (11). Тогда:

Т_Ц^* = (13).

Графики зависимостей: З_ХР(Х₀) согласно (8), З_ТР(Х₀) согласно (9), З(Х₀) согласно (10) показаны на рис.2.

Примечание.

Формула (3)следует из следующих рассуждений. Затраты за хранение товара в количестве “X” штук в течение времени Т_Ц можно определить:

З_ХР = Х_СР ∙ Т_Ц ∙ С_ХР или З_ХР = С_ХР ∙ ∙ dt

Отсюда получим: Х_СР = ∙ ∙ dt.

Задание 5. Определить оптимальный размер транспортной партии Хо*, период подвоза Тц и соответствующие затраты З. Значения входных параметров согласно вариантов заданы в таблице.

Снижение риска

Резервирование.

Рассмотрим систему, состоящую из “n” основных и “R” резервных элементов. Надёжность элемента характеризуется коэффициентом готовности k_Г = Р_Г – вероятность исправности элемента. Пусть k – число работоспособных элементов – случайная величина (СВ), закон распределения которой имеет вид:

P_n+R(k<n) = ∙ Р_Г^k ∙ (1 – Р_Г)^n+R–k – вероятность исправности “k<n” элементов, k Î [0 ¸ n – 1] элементов.

P_n+R(k ≥ n) = 1 – – вероятность исправности “k≥n” элементов, k Î [n ¸ n + R]”.

Пусть каждый работоспособный элемент даёт доход “d”. Тогда доход от Х = k работоспособных элементов равен: D_n+R(k) = d ∙ k – СВ. Пусть цель системы – получение дохода: D₀ = D_n+R(n) = d ∙ n. Тогда вероятность того, что цель не будет достигнута, равна:

P_n+R(k < n) = 1 – P_n+R(n) = .

Средняя величина (математическое ожидание) недополученного до D₀ дохода равна: = d ∙ – показатель риска.

Можно показать, что при увеличении “R”, то – уменьшается, т.е. резервирование снижает риск.

Задача. Рассчитать оптимальное число резервных элементов “R = R*” для получения максимальной прибыли.

Пусть содержание одного элемента системы за единицу времени (месяц) равно “C” [руб/(шт∙мес)]. Тогда максимальный финансовый результат работы системы из “n” элементов за месяц равен:

θ(k) = D_n+R(k) – С ∙ (n + R) = d ∙ k – С ∙ (n + R).

Функцию распределения P_n+R(k) можно представить таблицей:

Наивероятнейшее число исправных элементов “k= k*” определится:

(n + R) ∙ Р_Г ≤ k* ≤ (n + R + 1) ∙ Р_Г.

При k* = n, то “R = R*” определится из неравенства:

(n + R*) ∙ Р_Г ≤ n ≤ (n + R* + 1) ∙ Р_Г.

Откуда значения “R*” принадлежат интервалу: – n – 1 ≤ R* ≤ – n.

Тогда наибольший финансовый результат от работы системы из “n” элементов определится: θ(n) = d ∙ n – С ∙ (n + R*).

Задание 6. Определить оптимальное число резервных элементов “R” для получения максимальной прибыли Q=Qmax, величину и вероятность достижения этой прибыли, если доход (от работы одного элемента за рабочий период Т) = d, стоимость (содержания одного элемента за рабочий период Т) = С, коэффициент (вероятность) готовности одного элемента = Р_Г. Значения входных параметров согласно вариантов заданы в таблице. Размерности входных параметров следующие: [d] = [C] = [руб/(шт∙мес], [n] = [R] = [шт], [Q] = [руб/мес].

Пример решения (вар 0).

R = R* определится из неравенства: – n – 1 ≤ R* ≤ – n.

– 10 – 1 ≤ R* ≤ – 10 Þ 0,1 ≤ R* ≤ 1,1 Þ R* = 1.

P₁₁(k ≥ 10) = ∙ 0,9¹⁰ ∙ 0,1¹ + ∙ 0,9¹¹ ∙ 0,1⁰ = 0,697357 » 0,7 = 70 %.

θ(n) = d ∙ n – С ∙ (n + R*) = 10000 ∙ 10 – 3000 ∙ 11.